(PUC-RJ)O valor de
, onde
é a unidade imaginária, é de:
E)
E)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de
, onde
é a unidade imaginária. A gente vai precisar conhecer um pouco sobre números complexos, especialmente como elevar números complexos a potências usando a forma polar e a fórmula de De Moivre. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o número complexo
. Ele pode ser representado no plano complexo como um ponto com coordenadas reais
e imaginárias
. Para facilitar a potenciação, vamos converter esse número para a forma polar.
Passo 3
Para converter para a forma polar, precisamos encontrar o módulo (distância do ponto à origem) e o argumento (ângulo com o eixo real).
-
Módulo:
-
Argumento:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula de De Moivre, que diz que:
onde
é o módulo e
é o argumento.
No nosso caso,
,
e
. Vamos calcular cada parte:
-
Módulo elevado à potência 12:
-
Argumento multiplicado por 12:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula de De Moivre:
Lembrando que
e
, temos:
Então:
Resposta
O valor de
é
.