(PUC-RJ)O valor de (1-i)^12, onde i é a unidade imaginária, é de:
E) -64 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de , onde é a unidade imaginária. A gente vai precisar conhecer um pouco sobre números complexos, especialmente como elevar números complexos a potências usando a forma polar e a fórmula de De Moivre. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o número complexo . Ele pode ser representado no plano complexo como um ponto com coordenadas reais e imaginárias . Para facilitar a potenciação, vamos converter esse número para a forma polar.

Passo 3

Para converter para a forma polar, precisamos encontrar o módulo (distância do ponto à origem) e o argumento (ângulo com o eixo real).
  • Módulo:
    |1 - i| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2
  • Argumento:
    theta = arctan(-11) = -pi4 radianos (ou -45^circ)
Então, podemos escrever:
1 - i = raiz2 ( cos(-pi4) + i sin(-pi4) )

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula de De Moivre, que diz que:
[ r ( costheta + i sintheta ) ]^n = r^n ( cos(ntheta) + i sin(ntheta) )
onde (raiz2)^12 = (2^1/2)^12 = 2^6 = 64 é o módulo e 12 times (-pi4) = -3pi é o argumento.
No nosso caso, , e . Vamos calcular cada parte:
  • Módulo elevado à potência 12:
  • Argumento multiplicado por 12:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula de De Moivre:
(1 - i)^12 = 64 ( cos(-3pi) + i sin(-3pi) )
Lembrando que cos(-3pi) = cos(3pi) = -1 e sin(-3pi) = -sin(3pi) = 0 , temos:
(1 - i)^12 = 64 ( -1 + i times 0 ) = -64
Então:

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados