Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes planos
(b)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos as equações paramétricas do plano :
O objetivo é determinar o cosseno do ângulo entre este plano e outro plano. Para isso, vamos precisar encontrar os vetores normais de ambos os planos e utilizar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal ao plano . As equações paramétricas nos permitem identificar dois vetores diretores do plano. Observando as equações:
Podemos reescrever de forma vetorial:
Assim, os vetores diretores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano utilizando o produto vetorial dos vetores diretores e :
Calculando o produto vetorial:
Portanto, o vetor normal ao plano é:

Passo 4

Para determinar o cosseno do ângulo entre dois planos, precisamos dos vetores normais de ambos os planos. Suponhamos que o outro plano seja com vetor normal . A fórmula para o cosseno do ângulo entre os planos é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores normais.
  • e são as magnitudes dos vetores normais.

Passo 5

Como o enunciado forneceu apenas o plano , vamos assumir que o outro plano é, por exemplo, o plano , cujo vetor normal é .
Aplicando os valores na fórmula:
Calculando o produto escalar:
Calculando as magnitudes:

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:

Resposta

O cosseno do ângulo entre os planos é .

Exercícios relacionados

Seja :
Encontre um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes de .
Determine três pontos distintos sobre o plano para
© .
19
Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes planos
(a)