Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes planos
(b)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos as equações paramétricas do plano :
O objetivo é determinar o cosseno do ângulo entre este plano e outro plano. Para isso, vamos precisar encontrar os vetores normais de ambos os planos e utilizar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal ao plano . As equações paramétricas nos permitem identificar dois vetores diretores do plano. Observando as equações:
Podemos reescrever de forma vetorial:
Assim, os vetores diretores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano utilizando o produto vetorial dos vetores diretores e :
Calculando o produto vetorial:
Portanto, o vetor normal ao plano é:
Passo 4
Para determinar o cosseno do ângulo entre dois planos, precisamos dos vetores normais de ambos os planos. Suponhamos que o outro plano seja com vetor normal . A fórmula para o cosseno do ângulo entre os planos é:
Onde:
é o produto escalar dos vetores normais.
e são as magnitudes dos vetores normais.
Passo 5
Como o enunciado forneceu apenas o plano , vamos assumir que o outro plano é, por exemplo, o plano , cujo vetor normal é .