Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes planos
(b) pi1:lx=2 t y=1+2 s+2 t z=3-s+2 t

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos as equações paramétricas do plano pi1: x = 2 t y = 1 + 2 s + 2 t z = 3 - s + 2 t :
O objetivo é determinar o cosseno do ângulo entre este plano e outro plano. Para isso, vamos precisar encontrar os vetores normais de ambos os planos e utilizar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal ao plano x = 2 t y = 1 + 2 s + 2 t z = 3 - s + 2 t . As equações paramétricas nos permitem identificar dois vetores diretores do plano. Observando as equações:
r(s, t) = 0 1 3 + s 0 2 -1 + t 2 2 2
Podemos reescrever de forma vetorial:
u = 0 2 -1 , v = 2 2 2
Assim, os vetores diretores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano n1 = u times v utilizando o produto vetorial dos vetores diretores n1 = 0 2 -1 times 2 2 2 = (2)(2) - (-1)(2) (-1)(2) - (0)(2) (0)(2) - (2)(2) = 4 + 2 -2 - 0 0 - 4 = 6 -2 -4 e n1 = 6 -2 -4 :
Calculando o produto vetorial:
Portanto, o vetor normal ao plano é:

Passo 4

Para determinar o cosseno do ângulo entre dois planos, precisamos dos vetores normais de ambos os planos. Suponhamos que o outro plano seja cos theta = |n1 cdot n2||n1| cdot |n2| com vetor normal . A fórmula para o cosseno do ângulo entre os planos é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores normais.
  • e são as magnitudes dos vetores normais.

Passo 5

Como o enunciado forneceu apenas o plano 0 0 1 , vamos assumir que o outro plano n1 = 6 -2 -4 , n2 = 0 0 1 é, por exemplo, o plano n1 cdot n2 = (6)(0) + (-2)(0) + (-4)(1) = -4 , cujo vetor normal é |n1| = raiz6^2 + (-2)^2 + (-4)^2 = raiz36 + 4 + 16 = raiz56 = 2raiz14 .
Aplicando os valores na fórmula:
|n2| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
Calculando o produto escalar:
Calculando as magnitudes:

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
cos theta = |n1 cdot n2||n1| cdot |n2| = |-4|2raiz14 cdot 1 = 42raiz14 = 2raiz14 = 2raiz1414 = raiz147

Resposta

O cosseno do ângulo entre os planos é .

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