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Foi realizado um experimento instalado sob o DQL 4 times 4, com o objetivo de comparar quatro tipos de matérias-primas ( x1, x2, x3 e x4 ) em relação ao percentual de manifestação de uma toxicidade ( Y ). No experimento, as linhas ( b1, b2, b3 e b4 ) foram instaladas para corrigir as possíveis diferenças entre os períodos do dia. E as colunas ( c1, c2, c3 e c4 ), para corrigir as possíveis diferenças entre os operadores. É sabido que quanto menor a média paramétrica, principalmente, e o custo de aquisição, melhor é o tratamento. Os custos das matérias-primas x1, x2, x3 e x4 são iguais a R , 85,00 e R , respectivamente. Para este experimento, considere satisfeitas as pressuposições associadas aos erros experimentais ( e ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um experimento com um Desenho Quadrado Latino (DQL) 4 times 4. O objetivo é comparar quatro tipos de matérias-primas ( x1, x2, x3, x4) em relação ao percentual de toxicidade (Y). Além disso, temos linhas ( b1 a b4) que representam diferentes períodos do dia e colunas ( c1 a c4) que representam diferentes operadores. Isso tudo serve para controlar as variações que não vêm das matérias-primas. Também sabemos os custos de cada matéria-prima. Vamos precisar usar Análise de Variância (ANOVA) para DQL e considerar os custos para decidir a melhor matéria-prima.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o Desenho Quadrado Latino. Esse tipo de experimento ajuda a controlar duas fontes de variação (no nosso caso, período do dia e operador) além do fator principal (tipo de matéria-prima). Isso melhora a precisão da comparação entre as matérias-primas.

Passo 3

Vamos organizar os dados em uma tabela 4 times 4, onde cada célula representa uma combinação única de matéria-prima, período do dia e operador. Como o enunciado não forneceu os dados específicos, assumiremos que já temos as médias das toxicidades para cada tratamento.

Passo 4

Agora, vamos montar a Tabela de ANOVA para o Desenho Quadrado Latino. A ANOVA nos ajuda a verificar se há diferenças significativas entre as médias das matérias-primas, além de controlar as variações pelas linhas e colunas.
A estrutura da ANOVA para DQL inclui:
  • Tratamentos (Matérias-primas)
  • Linhas (Períodos do dia)
  • Colunas (Operadores)
  • Erro

Passo 5

Os graus de liberdade (gl) para cada fonte são:
  • Tratamentos: k - 1 = 4 - 1 = 3
  • Linhas: l - 1 = 4 - 1 = 3
  • Colunas: c - 1 = 4 - 1 = 3
  • Erro: (k-1)(l-1)(c-1) = 3 times 3 times 3 = 27
Onde k, l, c são o número de níveis dos fatores.

Passo 6

Calculamos agora a Soma dos Quadrados (SQ) para cada fonte:
  • SQ Tratamentos: mede a variação entre as médias das matérias-primas.
  • SQ Linhas: mede a variação entre os períodos do dia.
  • SQ Colunas: mede a variação entre os operadores.
  • SQ Erro: variação que não foi explicada pelos fatores anteriores.
Fórmulas:
SQTratamentos = n times sum (Yicdotcdot^2) - T^2N
SQLinhas = n times sum (Ycdot j cdot^2) - T^2N
SQColunas = n times sum (Ycdot cdot k^2) - T^2N
SQErro = SQTotal - SQTratamentos - SQLinhas - SQColunas
Onde:
  • Yicdotcdot é a média da matéria-prima i
  • Ycdot j cdot é a média da linha j
  • Ycdot cdot k é a média da coluna k
  • T é a soma total de todas as observações
  • N é o número total de observações ( 4 times 4 = 16)

Passo 7

Com as Somas dos Quadrados calculadas, obtemos os Quadrados Médios (QM) dividindo cada SQ pelo seu respectivo gl:
QM = SQgl
Então, para cada fonte:
  • QMTratamentos = SQTratamentos3
  • QMLinhas = SQLinhas3
  • QMColunas = SQColunas3
  • QMErro = SQErro27

Passo 8

Agora, calculamos os Valores de F para cada fator dividindo o QM do fator pelo QM do erro:
F = QMFatorQMErro
Comparamos esse F calculado com o valor crítico da tabela F para determinar se a diferença é significativa ( alpha = 0,05).

Passo 9

Se o F calculado para os Tratamentos for maior que o valor crítico, concluímos que há diferenças significativas entre as matérias-primas quanto à toxicidade. Caso contrário, não há diferença significativa.

Passo 10

Além da toxicidade, também consideramos o custo das matérias-primas:
  • x1: R$ 90,00
  • 90,00 - : R$ 85,00
  • : R: R$ 80,00
  • x3: R$ 75,00
Nosso objetivo é minimizar a toxicidade e o custo. Se há diferenças significativas na toxicidade, escolhemos a matéria-prima com menor média de Y e menor custo.

Resposta

Após realizar a ANOVA para o Desenho Quadrado Latino 4 times 4, verificamos se há diferenças significativas nas médias de toxicidade entre as matérias-primas. Se x4 apresenta a menor média de Y e também o menor custo (R$ 75,00), então 75,00), então é a melhor escolha, pois minimiza tanto a toxicidade quanto os custos de aquisição.

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