Linha Coluna
c1 c2 c3 c4
b1 44,3(x4) 26,8(x2) 25,3(x1) 36,2(x3)
b2 45,8(x3) 34,5(x1) 55,1(x4) 35,7(x2)
b3 43,9(x1) 56,7(x3) 46,2(x2) 64,9(x4)
b4 56,1(x2) 75,3(x4) 65,6(x3) 55,8(x1)
Resíduos
Repetição Matéria-prima
x1 x2 x3 x4
1 0,25 0,15 -0,15 -0,25
2 -0,45 -0,40 0,45 0,40
3 -0,40 0,05 0,40 -0,05
4 0,60 0,20 -0,70 -0,10
a) De acordo com o teste F da ANOVA, as médias de Y das quatro matérias-primas são iguais entre si? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Aqui a gente tem um conjunto de dados sobre quatro matérias-primas diferentes (x₁, x₂, x₃, x₄) e queremos saber se as médias das respostas (Y) dessas matérias-primas são iguais usando o teste F da ANOVA. Pra isso, vamos precisar calcular as médias de cada grupo, a variabilidade dentro de cada grupo e entre os grupos, e então comparar esses valores usando o teste F.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de Y para cada uma das quatro matérias-primas. Olhando os resíduos fornecidos:
  • x₁: 0,25; -0,45; -0,40; 0,60
    Média x₁ = (0,25 - 0,45 - 0,40 + 0,60) / 4 = 0,00
  • x₂: 0,15; -0,40; 0,05; 0,20
    Média x₂ = (0,15 - 0,40 + 0,05 + 0,20) / 4 = 0,00
  • x₃: -0,15; 0,45; 0,40; -0,70
    Média x₃ = (-0,15 + 0,45 + 0,40 - 0,70) / 4 = 0,00
  • x₄: -0,25; 0,40; -0,05; -0,10
    Média x₄ = (-0,25 + 0,40 - 0,05 - 0,10) / 4 = 0,00
Viu só? Todas as médias são zero. Isso já nos dá uma pista importante!

Passo 3

Agora, vamos calcular a variabilidade total (SQT), a variabilidade entre os grupos (SQG) e a variabilidade dentro dos grupos (SQE).
Como todas as médias são iguais (todas zero), a variabilidade entre os grupos (SQG) será zero, porque não tem diferença entre as médias das matérias-primas.
A variabilidade total será a soma dos quadrados de todos os resíduos:
SQT = (0,25)² + (-0,45)² + (-0,40)² + (0,60)² + (0,15)² + (-0,40)² + (0,05)² + (0,20)² + (-0,15)² + (0,45)² + (0,40)² + (-0,70)² + (-0,25)² + (0,40)² + (-0,05)² + (-0,10)²
Calculando isso:
SQT = 0,0625 + 0,2025 + 0,1600 + 0,3600 + 0,0225 + 0,1600 + 0,0025 + 0,0400 + 0,0225 + 0,2025 + 0,1600 + 0,4900 + 0,0625 + 0,1600 + 0,0025 + 0,0100 = 2,1000
Como SQG = 0, a variabilidade dentro dos grupos (SQE) será igual à variabilidade total:
SQE = SQT - SQG = 2,1000 - 0 = 2,1000

Passo 4

Agora, vamos determinar os graus de liberdade:
  • Graus de liberdade total (GLT) = número total de observações - 1 = 16 - 1 = 15
  • Graus de liberdade entre grupos (GLG) = número de grupos - 1 = 4 - 1 = 3
  • Graus de liberdade dentro dos grupos (GLE) = GLT - GLG = 15 - 3 = 12

Passo 5

Vamos calcular os quadrados médios:
  • Quadrado médio entre grupos (QMG) = SQG / GLG = 0 / 3 = 0
  • Quadrado médio dentro dos grupos (QME) = SQE / GLE = 2,1000 / 12 = 0,175

Passo 6

O teste F é calculado dividindo o quadrado médio entre grupos pelo quadrado médio dentro dos grupos:
F = QMGQME = 00,175 = 0

Passo 7

Agora, comparamos o valor de F calculado com o valor crítico da tabela F para um nível de significância, geralmente α = 0,05, e graus de liberdade GLG = 3 e GLE = 12.
O valor crítico de F(3,12) para α = 0,05 é aproximadamente 3,49.

Passo 8

Como o F calculado (0) é menor que o valor crítico (3,49), não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

De acordo com o teste F da ANOVA, as médias de Y das quatro matérias-primas são iguais entre si porque o valor calculado do teste F (0) foi menor que o valor crítico, indicando que não há diferença significativa entre as médias.

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