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Resíduos
Repetição | Matéria-prima | |||
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1 | 0,25 | 0,15 |
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2 |
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0,45 | 0,40 |
3 |
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0,05 | 0,40 |
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4 | 0,60 | 0,20 |
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a) De acordo com o teste
da ANOVA, as médias de
das quatro matérias-primas são iguais entre si? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Aqui a gente tem um conjunto de dados sobre quatro matérias-primas diferentes (x₁, x₂, x₃, x₄) e queremos saber se as médias das respostas (Y) dessas matérias-primas são iguais usando o teste F da ANOVA. Pra isso, vamos precisar calcular as médias de cada grupo, a variabilidade dentro de cada grupo e entre os grupos, e então comparar esses valores usando o teste F.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média de Y para cada uma das quatro matérias-primas. Olhando os resíduos fornecidos:
-
x₁: 0,25; -0,45; -0,40; 0,60
Média x₁ = (0,25 - 0,45 - 0,40 + 0,60) / 4 = 0,00 -
x₂: 0,15; -0,40; 0,05; 0,20
Média x₂ = (0,15 - 0,40 + 0,05 + 0,20) / 4 = 0,00 -
x₃: -0,15; 0,45; 0,40; -0,70
Média x₃ = (-0,15 + 0,45 + 0,40 - 0,70) / 4 = 0,00 -
x₄: -0,25; 0,40; -0,05; -0,10
Média x₄ = (-0,25 + 0,40 - 0,05 - 0,10) / 4 = 0,00
Viu só? Todas as médias são zero. Isso já nos dá uma pista importante!
Passo 3
Agora, vamos calcular a variabilidade total (SQT), a variabilidade entre os grupos (SQG) e a variabilidade dentro dos grupos (SQE).
Como todas as médias são iguais (todas zero), a variabilidade entre os grupos (SQG) será zero, porque não tem diferença entre as médias das matérias-primas.
A variabilidade total será a soma dos quadrados de todos os resíduos:
SQT = (0,25)² + (-0,45)² + (-0,40)² + (0,60)² + (0,15)² + (-0,40)² + (0,05)² + (0,20)² + (-0,15)² + (0,45)² + (0,40)² + (-0,70)² + (-0,25)² + (0,40)² + (-0,05)² + (-0,10)²
SQT = (0,25)² + (-0,45)² + (-0,40)² + (0,60)² + (0,15)² + (-0,40)² + (0,05)² + (0,20)² + (-0,15)² + (0,45)² + (0,40)² + (-0,70)² + (-0,25)² + (0,40)² + (-0,05)² + (-0,10)²
Calculando isso:
SQT = 0,0625 + 0,2025 + 0,1600 + 0,3600 + 0,0225 + 0,1600 + 0,0025 + 0,0400 + 0,0225 + 0,2025 + 0,1600 + 0,4900 + 0,0625 + 0,1600 + 0,0025 + 0,0100 = 2,1000
SQT = 0,0625 + 0,2025 + 0,1600 + 0,3600 + 0,0225 + 0,1600 + 0,0025 + 0,0400 + 0,0225 + 0,2025 + 0,1600 + 0,4900 + 0,0625 + 0,1600 + 0,0025 + 0,0100 = 2,1000
Como SQG = 0, a variabilidade dentro dos grupos (SQE) será igual à variabilidade total:
SQE = SQT - SQG = 2,1000 - 0 = 2,1000
SQE = SQT - SQG = 2,1000 - 0 = 2,1000
Passo 4
Agora, vamos determinar os graus de liberdade:
- Graus de liberdade total (GLT) = número total de observações - 1 = 16 - 1 = 15
- Graus de liberdade entre grupos (GLG) = número de grupos - 1 = 4 - 1 = 3
- Graus de liberdade dentro dos grupos (GLE) = GLT - GLG = 15 - 3 = 12
Passo 5
Vamos calcular os quadrados médios:
- Quadrado médio entre grupos (QMG) = SQG / GLG = 0 / 3 = 0
- Quadrado médio dentro dos grupos (QME) = SQE / GLE = 2,1000 / 12 = 0,175
Passo 6
O teste F é calculado dividindo o quadrado médio entre grupos pelo quadrado médio dentro dos grupos:
Passo 7
Agora, comparamos o valor de F calculado com o valor crítico da tabela F para um nível de significância, geralmente α = 0,05, e graus de liberdade GLG = 3 e GLE = 12.
O valor crítico de F(3,12) para α = 0,05 é aproximadamente 3,49.
Passo 8
Como o F calculado (0) é menor que o valor crítico (3,49), não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
De acordo com o teste F da ANOVA, as médias de Y das quatro matérias-primas são iguais entre si porque o valor calculado do teste F (0) foi menor que o valor crítico, indicando que não há diferença significativa entre as médias.