18- A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é dada por
1raizpi(Za0)^3 / 2 e^-Z tau / a0
A partir desta equação, qual é o diâmetro do átomo de hidrogênio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio, que é essa:
1raizpi(Za0)^3 / 2 e^-Z tau / a0
O objetivo aqui é descobrir qual é o diâmetro desse átomo usando essa função. Vamos trabalhar com conceitos de física quântica, especificamente sobre a estrutura do átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar entender o que essa função de onda representa e como relacionar isso com o tamanho do átomo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda nos dá informações sobre a probabilidade de encontrar o elétron em uma determinada posição ao redor do núcleo. Para achar o diâmetro do átomo, precisamos descobrir qual é a “região típica” onde o elétron se encontra mais provavelmente. Isso geralmente é feito calculando o raio esperado lang<= r rang<=, que é como uma média ponderada da distância do elétron em relação ao núcleo.

Passo 3

Vamos calcular o raio esperado lang<= r rang<=. A fórmula para o valor esperado de r é:
lang<= r rang<= = integral0^infty r cdot |psi(r)|^2 cdot 4pi r^2 dr
Aqui, psi(r) é a função de onda, e |psi(r)|^2 nos dá a densidade de probabilidade. Substituindo a função de onda que a gente tem:
|psi(r)|^2 = (1raizpi(Za0)^3 / 2 e^-Z r / a0)^2 = 1pi(Za0)^3 e^-2Z r / a0
Agora, substituindo na integral:
lang<= r rang<= = integral0^infty r cdot 1pi(Za0)^3 e^-2Z r / a0 cdot 4pi r^2 dr
Simplificando os termos:
lang<= r rang<= = 4 (Za0)^3 integral0^infty r^3 e^-2Z r / a0 dr
Essa integral é uma forma conhecida de integração de funções exponenciais multiplicadas por potências de r. O resultado dessa integral é:
integral0^infty r^3 e^-2Z r / a0 dr = 3!(2Z/a0)^4 = 6 a0^416 Z^4 = 3 a0^48 Z^4
Substituindo de volta:
lang<= r rang<= = 4 (Za0)^3 cdot 3 a0^48 Z^4 = 12 a0^4 Z^38 Z^4 a0^3 = 12 a08 Z = 3 a02 Z

Passo 4

O raio esperado lang<= r rang<= que achamos é 3 a02 Z. Para encontrar o diâmetro do átomo, basta multiplicar esse valor por 2:
Diâmetro = 2 lang<= r rang<= = 2 cdot 3 a02 Z = 3 a0Z â

Resposta

O diâmetro do átomo de hidrogênio é 3 a0Z, onde a0 é o raio de Bohr e Z é o número atômico.

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