18- A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é dada por
A partir desta equação, qual é o diâmetro do átomo de hidrogênio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio, que é essa:
O objetivo aqui é descobrir qual é o diâmetro desse átomo usando essa função. Vamos trabalhar com conceitos de física quântica, especificamente sobre a estrutura do átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar entender o que essa função de onda representa e como relacionar isso com o tamanho do átomo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda nos dá informações sobre a probabilidade de encontrar o elétron em uma determinada posição ao redor do núcleo. Para achar o diâmetro do átomo, precisamos descobrir qual é a “região típica” onde o elétron se encontra mais provavelmente. Isso geralmente é feito calculando o raio esperado , que é como uma média ponderada da distância do elétron em relação ao núcleo.

Passo 3

Vamos calcular o raio esperado . A fórmula para o valor esperado de é:
Aqui, é a função de onda, e nos dá a densidade de probabilidade. Substituindo a função de onda que a gente tem:
Agora, substituindo na integral:
Simplificando os termos:
Essa integral é uma forma conhecida de integração de funções exponenciais multiplicadas por potências de . O resultado dessa integral é:
Substituindo de volta:

Passo 4

O raio esperado que achamos é . Para encontrar o diâmetro do átomo, basta multiplicar esse valor por 2:
â

Resposta

O diâmetro do átomo de hidrogênio é , onde é o raio de Bohr e é o número atômico.

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e
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