Determine o Polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto dado.
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno do ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a fórmula do polinômio de Taylor para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Substituindo e na função:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Vamos calcular essas derivadas no ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
As derivadas de segunda ordem s��o:
Calculando no ponto :

Passo 5

Com todos esses valores, podemos montar o Polinômio de Taylor de ordem 2. A fórmula geral é:
Substituindo e :
Simplificando:

Resposta

O Polinômio de Taylor de ordem 2 da função em torno do ponto é:

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