Determine o Polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto (x0, y0) dado.
g(x, y)=x^3+2 x^2 y+3 y^3+x-y e (x0, y0)=(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno do ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a fórmula do polinômio de Taylor para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto g(1, 1) = 1^3 + 2 cdot 1^2 cdot 1 + 3 cdot 1^3 + 1 - 1 = 1 + 2 + 3 + 1 - 1 = 6 . Substituindo e na função:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função gx = partial gpartial x = 3x^2 + 4xy + 1 .
A derivada parcial em relação a gy = partial gpartial y = 2x^2 + 9y^2 - 1 é:
gx(1, 1) = 3(1)^2 + 4(1)(1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8
E a derivada parcial em relação a gy(1, 1) = 2(1)^2 + 9(1)^2 - 1 = 2 + 9 - 1 = 10 é:
Vamos calcular essas derivadas no ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
As derivadas de segunda ordem s��o:
gxx = partial^2 gpartial x^2 = 6x + 4y
gxy = partial^2 gpartial x partial y = 4x
gyy = partial^2 gpartial y^2 = 18y
Calculando no ponto gxx(1, 1) = 6(1) + 4(1) = 6 + 4 = 10 :
gxy(1, 1) = 4(1) = 4
gyy(1, 1) = 18(1) = 18

Passo 5

Com todos esses valores, podemos montar o Polinômio de Taylor de ordem 2. A fórmula geral é:
P2(x, y) = g(a, b) + gx(a, b)(x - a) + gy(a, b)(y - b) + 12gxx(a, b)(x - a)^2 + gxy(a, b)(x - a)(y - b) + 12gyy(a, b)(y - b)^2
Substituindo P2(x, y) = 6 + 8(x - 1) + 10(y - 1) + 12(10)(x - 1)^2 + 4(x - 1)(y - 1) + 12(18)(y - 1)^2 e P2(x, y) = 6 + 8(x - 1) + 10(y - 1) + 5(x - 1)^2 + 4(x - 1)(y - 1) + 9(y - 1)^2 :
Simplificando:

Resposta

O Polinômio de Taylor de ordem 2 da função P2(x, y) = 6 + 8(x - 1) + 10(y - 1) + 5(x - 1)^2 + 4(x - 1)(y - 1) + 9(y - 1)^2 em torno do ponto é:

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