Determine o Polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto
dado.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Polinômio de Taylor de ordem 2 para a função
em torno do ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a fórmula do polinômio de Taylor para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Substituindo
e
na função:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
As derivadas de segunda ordem s��o:
Calculando no ponto
:
Passo 5
Com todos esses valores, podemos montar o Polinômio de Taylor de ordem 2. A fórmula geral é:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Resposta
O Polinômio de Taylor de ordem 2 da função
em torno do ponto
é: