Considere a curva definida por alpha(t)=(1+2 ln (1+t), 1+(1+t)^2), t>-1.
(a) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto (1,2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma curva definida pela função alpha(t)=(1+2 ln (1+t), 1+(1+t)^2), onde t > -1. A parte (a) da questão quer saber qual é a equação da reta tangente a essa curva no ponto (1,2). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, depois, montar a equação da reta.

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor de t que corresponde ao ponto (1,2) na curva. Isso significa que precisamos resolver o sistema:
1 + 2 ln(1 + t) = 1 1 + (1 + t)^2 = 2
Resolvendo a primeira equação:
1 + 2 ln(1 + t) = 1 2 ln(1 + t) = 0 ln(1 + t) = 0 1 + t = e^0 1 + t = 1 t = 0
Vamos verificar se esse valor de t=0 satisfaz a segunda equação:
1 + (1 + 0)^2 = 1 + 1 = 2
Está tudo certo! Então, o ponto (1,2) corresponde a t=0.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função alpha(t), que nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Vamos derivar cada componente de alpha(t) em relação a t.
Para a primeira coordenada, x(t) = 1 + 2 ln(1 + t):
dxdt = 21 + t
Para a segunda coordenada, y(t) = 1 + (1 + t)^2:
dydt = 2(1 + t)

Passo 4

Agora, substituímos t=0 nas derivadas para encontrar as taxas de variação no ponto (1,2):
dxdt|t=0 = 21 + 0 = 2
dydt|t=0 = 2(1 + 0) = 2

Passo 5

A inclinação da reta tangente é dada pela razão entre dydt e dxdt:
m = dydtdxdt = 22 = 1
Então, a inclinação da reta tangente no ponto (1,2) é m = 1.

Passo 6

Com a inclinação m = 1 e o ponto de passagem (1,2), podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo os valores:
y - 2 = 1(x - 1)
Simplificando:
y = x + 1

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1,2) é y = x + 1.

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