Considere a curva definida por . Determine a equação da reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma curva definida pela função , onde . A parte (a) da questão quer saber qual é a equação da reta tangente a essa curva no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, depois, montar a equação da reta.
Passo 2
Vamos começar encontrando o valor de que corresponde ao ponto na curva. Isso significa que precisamos resolver o sistema:
Resolvendo a primeira equação:
Vamos verificar se esse valor de satisfaz a segunda equação:
Está tudo certo! Então, o ponto corresponde a .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Vamos derivar cada componente de em relação a .
Para a primeira coordenada, :
Para a segunda coordenada, :
Passo 4
Agora, substituímos nas derivadas para encontrar as taxas de variação no ponto :
Passo 5
A inclinação da reta tangente é dada pela razão entre e :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .
Passo 6
Com a inclinação e o ponto de passagem , podemos usar a fórmula da equação da reta: