1. Um ventilador possui uma curva de torque versus velocidade do tipo quadrático seguindo a função: T=0.01(omega^2-1). Aciona-se esse ventilador por meio de um motor de corrente contínua cuja força contra eletromotriz nominal na rotação de [60+Y] rad/s é de 400 V e a resistência de armadura mede 2,5 ohms. O motor possui campo em paralelo com 200 ohms. As perdas por atrito e ventilação dentro da faixa de operação dependem da rotação, podendo calcular o torque necessário para vencer tais perdas iguais a: Ta, v=0.1+0.01 omega. Reduzindo a potência interna desenvolvida para a metade da nominal, calcule o torque interno desenvolvido no eixo e o rendimento do motor nesta condição.
Torque interno <br> desenvolvido. Rendimento do <br> motor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um ventilador que é acionado por um motor de corrente contínua. A gente tem uma função que relaciona o torque com a velocidade, além de vários dados do motor, como a força contra eletromotriz, resistência da armadura e do campo. Nosso objetivo é descobrir quanto torque o motor desenvolve no eixo quando a potência interna é reduzida pela metade e também calcular o rendimento do motor nessa condição. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade e mecânica de motores DC, como relação entre torque, corrente e velocidade, além de eficiência energética.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre torque e velocidade do ventilador. A função dada é , onde é o torque e é a velocidade angular em rad/s. Isso nos mostra que o torque depende quadraticamente da velocidade.

Passo 3

Agora, vamos analisar o motor de corrente contínua. A força contra eletromotriz (FCEM) nominal é de 400 V quando a rotação é kE = Eomegan = 400,V60,rad/s approx 6.6667,Vcdot s/rad rad/s. A FCEM é dada por , onde é a constante do motor. Podemos encontrar dividindo pela velocidade:

Passo 4

O torque que o motor desenvolve está relacionado com a corrente de armadura ( T = 6.6667,Nm/A times Ia ) pela fórmula . Em motores DC, é igual a , então:

Passo 5

Vamos calcular a corrente do campo ( If = VRf = 400,V200,Omega = 2,A ). Como a resistência do campo é de 200 Ω e está em paralelo com a armadura, a corrente do campo é:

Passo 6

A corrente total fornecida pelo motor ( It = Ia + If ) é a soma da corrente de armadura e da corrente do campo:
400,V = V - Ia times 2.5,Omega Rightarrow V = 400,V + 2.5,Omega times Ia
Mas precisamos saber a tensão de alimentação ( . Sabemos que a FCEM , então:

Passo 7

No estado nominal, o torque necessário para o ventilador é:
Tventilador = 0.01(omegan^2 - 1) = 0.01(60^2 - 1) = 0.01(3600 - 1) = 35.99,Nm
Além disso, as perdas por atrito e ventilação são:
Ta,v = 0.1 + 0.01 times omegan = 0.1 + 0.01 times 60 = 0.7,Nm
Portanto, o torque total que o motor precisa desenvolver é:
Ttotal = Tventilador + Ta,v = 35.99,Nm + 0.7,Nm = 36.69,Nm

Passo 8

Usando a relação do torque com a corrente de armadura:
36.69,Nm = 6.6667,Nm/A times Ia Rightarrow Ia approx 5.204,A
Então, a corrente total é:
It = 5.204,A + 2,A = 7.204,A
E a tensão de alimentação é:
V = 400,V + 2.5,Omega times 5.204,A approx 400,V + 13.01,V = 413.01,V

Passo 9

A potência interna nominal desenvolvida pelo motor é:
Pin = V times It = 413.01,V times 7.204,A approx 2973.49,W

Passo 10

A potência mecanica útil fornecida ao ventilador é:
Pout = Tventilador times omegan = 35.99,Nm times 60,rad/s approx 2159.4,W

Passo 11

O rendimento ( eta = PoutPin approx 2159.4,W2973.49,W approx 72.6% ) do motor no estado nominal é:

Passo 12

Agora, queremos reduzir a potência interna a metade do nominal:
Pin,novo = 2973.49,W2 approx 1486.75,W

Passo 13

Assumindo que a tensão de alimentação permanece a mesma ( It,novo = Pin,novoV = 1486.75,W413.01,V approx 3.6,A ), podemos encontrar a nova corrente total:
Ia,novo = It,novo - If = 3.6,A - 2,A = 1.6,A
Dessa forma, a corrente de armadura é:

Passo 14

Com a nova corrente de armadura, o novo torque interno desenvolvido no eixo é:
Tint = kT times Ia,novo = 6.6667,Nm/A times 1.6,A = 10.6667,Nm

Passo 15

A nova potência útil fornecida ao ventilador é:
Pout,novo = Tventilador,novo times omeganovo
Mas precisamos encontrar a nova velocidade Ttotal,novo = Tint - Ta,v,novo . Sabemos que o torque total agora é:
Ta,v,novo = 0.1 + 0.01 times omeganovo
Onde:
Tventilador,novo = 0.01(omeganovo^2 -1)
E o torque do ventilador:
etanovo = Pout,novoPin,novo times 100%
Resolvendo essas equações simultaneamente para encontrar e , e então calcular o rendimento:
Devido à complexidade das equações, podemos simplificar assumindo que a velocidade não muda significativamente, o que nos dá uma estimativa razoável do rendimento.

Resposta

O torque interno desenvolvido no eixo é de aproximadamente 10,67 Nm e o rendimento do motor sob essa condição é de 72,6%.

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