Em 1895, Paschen propôs para a função f(lambda, T) a forma
f(lambda, T)=b lambda^-gamma e^-a /(lambda T)
onde a e b são constantes e gamma simeq 5,66. Mostre que, a memos que gamma=5, esta lei de Paschen é irreconciliável com a lei de Stefan-Boltzmann.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função proposta por Paschen:
f(lambda, T) = b lambda^-gamma e^-a / (lambda T)
Aqui, E = sigma T^4 e são constantes, e é aproximadamente 5,66. A pergunta quer que a gente mostre que, a menos que , essa lei de Paschen não combina com a lei de Stefan-Boltzmann.
Então, vamos precisar lembrar da Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a energia total irradiada por um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura:
Onde é a constante de Stefan-Boltzmann. Também vamos precisar integrar a função de Paschen sobre todas as longitudes de onda para encontrar a energia total irradiada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia total irradiada usando a função de Paschen. Isso significa que precisamos integrar E = integral0^infty f(lambda, T) , dlambda = integral0^infty b lambda^-gamma e^-a / (lambda T) , dlambda de até :

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
x = alambda T
Então, E = integralinfty^0 b ( ax T )^-gamma e^-x ( -ax^2 T ) dx e E = b ( aT )^-gamma aT integral0^infty x^gamma - 2 e^-x dx . Como estamos mudando os limites de integração, quando vai de 0 a , também vai de a 0. Podemos reescrever a integral:
Simplificando os sinais e os limites:

Passo 4

Agora, observamos que a integral que ficou é uma forma da função gama, que é definida por:
Gamma(n) = integral0^infty x^n-1 e^-x dx
Comparando, temos integral0^infty x^gamma - 2 e^-x dx = Gamma(gamma - 1) , ou seja, E = b ( aT )^-gamma aT Gamma(gamma - 1) = b a^1 - gamma T^gamma - 1 Gamma(gamma - 1) . Então:
Portanto, a energia total fica:

Passo 5

Agora, vamos comparar essa expressão com a Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que E = sigma T^4 deve ser proporcional a gamma - 1 = 4 :
gamma = 5
Para que essas duas expressões coincidam, os expoentes de devem ser iguais. Na nossa expressão derivada da Lei de Paschen, o expoente é . Então, temos que:
Resolvendo para :

Resposta

A menos que , a lei de Paschen não se alinha com a lei de Stefan-Boltzmann. Ou seja, somente quando as duas leis são compatíveis.

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