Em 1895, Paschen propôs para a função
a forma
onde
e
são constantes e
. Mostre que, a memos que
, esta lei de Paschen é irreconciliável com a lei de Stefan-Boltzmann.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função proposta por Paschen:
Aqui,
e
são constantes, e
é aproximadamente 5,66. A pergunta quer que a gente mostre que, a menos que
, essa lei de Paschen não combina com a lei de Stefan-Boltzmann.
Então, vamos precisar lembrar da Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a energia total irradiada por um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura:
Onde
é a constante de Stefan-Boltzmann. Também vamos precisar integrar a função de Paschen sobre todas as longitudes de onda
para encontrar a energia total irradiada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia total irradiada usando a função de Paschen. Isso significa que precisamos integrar
de
até
:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
Então,
e
. Como estamos mudando os limites de integração, quando
vai de 0 a
,
também vai de
a 0. Podemos reescrever a integral:
Simplificando os sinais e os limites:
Passo 4
Agora, observamos que a integral que ficou é uma forma da função gama, que é definida por:
Comparando, temos
, ou seja,
. Então:
Portanto, a energia total
fica:
Passo 5
Agora, vamos comparar essa expressão com a Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que
deve ser proporcional a
:
Para que essas duas expressões coincidam, os expoentes de
devem ser iguais. Na nossa expressão derivada da Lei de Paschen, o expoente é
. Então, temos que:
Resolvendo para
:
Resposta
A menos que
, a lei de Paschen não se alinha com a lei de Stefan-Boltzmann. Ou seja, somente quando
as duas leis são compatíveis.
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(káon neutro) é uma partícula eletricamente neutra, de massa igual a
, que decai em dois píons carregados
segundo
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. Determine as energias e as velocidades dos píons no referencial do káon.
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(a) A energia adquirida pelos elétrons;
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