Em 1895, Paschen propôs para a função a forma
onde e são constantes e . Mostre que, a memos que , esta lei de Paschen é irreconciliável com a lei de Stefan-Boltzmann.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função proposta por Paschen:
Aqui, e são constantes, e é aproximadamente 5,66. A pergunta quer que a gente mostre que, a menos que , essa lei de Paschen não combina com a lei de Stefan-Boltzmann.
Então, vamos precisar lembrar da Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a energia total irradiada por um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura:
Onde é a constante de Stefan-Boltzmann. Também vamos precisar integrar a função de Paschen sobre todas as longitudes de onda para encontrar a energia total irradiada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia total irradiada usando a função de Paschen. Isso significa que precisamos integrar de até :

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
Então, e . Como estamos mudando os limites de integração, quando vai de 0 a , também vai de a 0. Podemos reescrever a integral:
Simplificando os sinais e os limites:

Passo 4

Agora, observamos que a integral que ficou é uma forma da função gama, que é definida por:
Comparando, temos , ou seja, . Então:
Portanto, a energia total fica:

Passo 5

Agora, vamos comparar essa expressão com a Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que deve ser proporcional a :
Para que essas duas expressões coincidam, os expoentes de devem ser iguais. Na nossa expressão derivada da Lei de Paschen, o expoente é . Então, temos que:
Resolvendo para :

Resposta

A menos que , a lei de Paschen não se alinha com a lei de Stefan-Boltzmann. Ou seja, somente quando as duas leis são compatíveis.

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