Um feixe de elétrons é submetido, a partir do repouso, a uma diferença de potencial de 4,5 MeV em um acelerador linear. Determine:
(b) A velocidade adquirida pelos elétrons.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado diz que um feixe de elétrons, que estava parado, é acelerado por uma diferença de potencial de em um acelerador linear. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a velocidade que esses elétrons acabam adquirindo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados à energia cinética e à relatividade, já que a energia envolvida é bem alta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essa diferença de potencial ( 4,5,MeV = 4,5 times 10^6,eV times 1,6 times 10^-19,J/eV = 7,2 times 10^-13,J ) está relacionada com a energia que os elétrons ganham. Quando um elétron passa por uma diferença de potencial , ele ganha uma energia igual a , onde é a carga do elétron ( ).
No nosso caso, a energia fornecida é de . Precisamos converter isso para joules para facilitar os cálculos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a energia cinética ( K = (gamma - 1)mc^2 ) adquirida pelos elétrons não pode ser calculada pela fórmula clássica gamma = 1raiz1 - v^2c^2 porque a velocidade final pode ser próxima à velocidade da luz ( ), e aí precisamos considerar os efeitos da relatividade. A fórmula correta para a energia cinética relativística é:
onde:
é a massa do elétron ( ) e é a velocidade da luz ( ).

Passo 4

Vamos isolar gamma = 1 + Kmc^2 na equação da energia cinética:
gamma = 1 + 7,2 times 10^-13,J(9,11 times 10^-31,kg) times (3 times 10^8,m/s)^2
Substituindo os valores que temos:
mc^2 = 9,11 times 10^-31,kg times 9 times 10^16,m^2/s^2 = 8,199 times 10^-14,J
Calculando o denominador:
gamma = 1 + 7,2 times 10^-138,199 times 10^-14 approx 1 + 8,78 approx 9,78
Então:

Passo 5

Agora que temos gamma = 1raiz1 - v^2c^2 , vamos resolver para raiz1 - v^2c^2 = 1gamma 1 - v^2c^2 = 1gamma^2 v^2c^2 = 1 - 1gamma^2 v = c raiz1 - 1gamma^2 . Sabemos que:
v = 3 times 10^8,m/s times raiz1 - 1(9,78)^2 approx 3 times 10^8,m/s times raiz1 - 195,6 approx 3 times 10^8,m/s times raiz0,9895 approx 3 times 10^8,m/s times 0,9947 approx 2,98 times 10^8,m/s
Vamos rearranjar para encontrar :
Substituindo :

Resposta

A velocidade adquirida pelos elétrons é aproximadamente .

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