Um gás ideal é comprimido muito rapidamente. Vamos pensar que este gás é o ar nas CNTP em uma seringa com êmbolo de área igual a 1,0 cm^2 e comprimento de 10 cm. Você pressiona a seringa até que o comprimento disponível para o gás baixe para 5,0 cm.
(a) Qual será a temperatura do ar?
(b) Quanto você estará fazendo de força para manter a seringa nesta posição?
© Qual terá sido o trabalho realizado pelo gás?

Passo 1

Então, a gente tem um problema envolvendo um gás ideal comprimido numa seringa. Especificamente, a seringa tem uma área de êmbolo de 1,0 , cm^2 e um comprimento de 10 cm. A gente pressiona até que o comprimento disponível para o gás diminua para 5,0 cm. Vamos usar conceitos de Termodinâmica, como Lei dos Gases Ideais, Pressão, Temperatura e Trabalho realizado por gases. Vamos precisar de fórmulas que relacionem pressão, volume e temperatura, além de entender como calcular força e trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual será a temperatura do ar após a compressão?
Como a compressão é muito rápida, podemos supor que seja um processo adiabático, onde não há troca de calor com o ambiente. Para processos adiabáticos de gases ideais, temos a relação:
T1 V1^gamma -1 = T2 V2^gamma -1
Onde:
  • T é a temperatura,
  • V é o volume,
  • gamma é a razão entre as capacidades caloríficas ( Cp/Cv). Para o ar, gamma approx 1,4.
Antes da compressão:
  • Comprimento inicial L1 = 10 , cm,
  • Volume inicial V1 = A times L1 = 1,0 , cm^2 times 10 , cm = 10 , cm^3,
  • Temperatura inicial T1 = 273 , K (CNTP).
Após a compressão:
  • Comprimento final L2 = 5,0 , cm,
  • Volume final V2 = A times L2 = 1,0 , cm^2 times 5,0 , cm = 5,0 , cm^3.
Aplicando a fórmula adiabática:
273 times (10)^0,4 = T2 times (5)^0,4
Resolvendo para T2:
T2 = 273 times ( 105 )^0,4 = 273 times 2^0,4 approx 273 times 1,32 approx 360 , K

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Quanto você estará fazendo de força para manter a seringa nesta posição?
A força necessária para manter a seringa comprimida está relacionada à pressão exercida pelo gás e a área do êmbolo. A pressão pode ser obtida pela Lei de Boyle (já que consideramos um processo adiabático, mas aqui vamos simplificar assumindo que a pressão final P2 pode ser calculada).
Para um processo adiabático:
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
Onde:
  • P1 = 1 , atm = 101325 , Pa,
  • V1 = 10 , cm^3,
  • V2 = 5,0 , cm^3,
  • gamma = 1,4.
Calculando P2:
101325 times (10)^1,4 = P2 times (5)^1,4
P2 = 101325 times ( 105 )^1,4 = 101325 times 2^1,4 approx 101325 times 2,639 approx 267,000 , Pa
Agora, a força F é:
F = P times A
Convertendo a área para metros quadrados:
A = 1,0 , cm^2 = 1,0 times 10^-4 , m^2
Então:
F = 267000 , Pa times 1,0 times 10^-4 , m^2 = 26,7 , N

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte c): Qual terá sido o trabalho realizado pelo gás?
O trabalho realizado em um processo adiabático é dado por:
W = P1 V1 - P2 V2gamma -1
Primeiro, precisamos converter os volumes para metros cúbicos:
V1 = 10 , cm^3 = 10 times 10^-6 , m^3
V2 = 5,0 , cm^3 = 5,0 times 10^-6 , m^3
Agora, substituindo os valores:
W = 101325 times 10 times 10^-6 - 267000 times 5,0 times 10^-61,4 -1
W = 1,01325 - 1,3350,4 = -0,321750,4 approx -0,804 , J
O sinal negativo indica que o trabalho foi realizado sobre o gás.

Resposta

(a) A temperatura do ar após a compressão será aproximadamente 360 , K.
(b) A força necessária para manter a seringa comprimida é de cerca de 26,7 , N.
© O trabalho realizado pelo gás foi de aproximadamente -0,804 , J.

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