19
Calcule
onde
é o retângulo de vértices
e
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo. O enunciado pede para calcular a integral
onde
é um retângulo definido pelos vértices
,
,
e
. Vamos usar o conteúdo de integrais duplas e a técnica de integração por partes para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como
é um retângulo onde
varia de 0 a 1 e
varia de
a
, podemos escrever a integral dupla como:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tirar
da integral:
Passo 4
Para integrar em relação a
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, integramos em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 6
Voltando à integral dupla, temos agora:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:
Passo 8
Substituindo os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
34
Uma lâmina tem a forma da região plana delimitada pelas curvas
e
. Sua densidade de massa é constante. Determine:
(a) O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos .
Uma lâmina tem a forma da região plana
(a) O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos
24
Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado por e pelo cilindro que contorna a região delimitada por
e
.
Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado por
Encontre o vetor gradiente da função no ponto dado. Depois, esboce o gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto:
(b) ,
(b)