19
Calcule
onde é o retângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo. O enunciado pede para calcular a integral
onde é um retângulo definido pelos vértices , , e . Vamos usar o conteúdo de integrais duplas e a técnica de integração por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como é um retângulo onde varia de 0 a 1 e varia de a , podemos escrever a integral dupla como:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirar da integral:

Passo 4

Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Aplicando os limites de 0 a :

Passo 6

Voltando à integral dupla, temos agora:
Vamos separar essa integral em duas partes:

Passo 7

Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:

Passo 8

Substituindo os resultados das integrais:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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(b) ,