19
Calcule
integral duplaR y sen x y d x d y
onde R é o retângulo de vértices (0, pi / 2),(1, pi / 2),(1, pi) e (0, pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo. O enunciado pede para calcular a integral
onde integral duplaR y , sen(xy) , dx , dy é um retângulo definido pelos vértices , , e . Vamos usar o conteúdo de integrais duplas e a técnica de integração por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como integraly=pi/2^pi integralx=0^1 y , sen(xy) , dx , dy é um retângulo onde varia de 0 a 1 e varia de a , podemos escrever a integral dupla como:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 y , sen(xy) , dx :
Aqui, y integral0^1 sen(xy) , dx é uma constante em relação a , então podemos tirar da integral:

Passo 4

Para integrar em relação a y integralu=0^u=y sen(u) cdot duy = integral0^y sen(u) , du , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos em relação a integral sen(u) , du = -cos(u) + C :
Aplicando os limites de 0 a - cos(y) + cos(0) = -cos(y) + 1 :

Passo 6

Voltando à integral dupla, temos agora:
integralpi/2^pi (1 - cos(y)) , dy
Vamos separar essa integral em duas partes:
integralpi/2^pi 1 , dy - integralpi/2^pi cos(y) , dy

Passo 7

Calculando a primeira integral:
integralpi/2^pi 1 , dy = y |pi/2^pi = pi - pi2 = pi2
Calculando a segunda integral:

Passo 8

Substituindo os resultados das integrais:
pi2 - (-1) = pi2 + 1

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados