Encontre o vetor gradiente da função no ponto dado. Depois, esboce o gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto:
(b) ,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e o ponto . O objetivo é encontrar o vetor gradiente dessa função no ponto dado e depois desenhar (ou descrever) o gradiente junto com a curva de nível que passa por esse ponto. Vamos precisar saber o que é o gradiente e como calcular curvas de nível para resolver isso.
Passo 2
**O que é o vetor gradiente?**
O vetor gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e sua magnitude indica a taxa de variação nessa direção. Matemáticamente, é dado por:
Então, para encontrar o gradiente da função , precisamos calcular as derivadas parciais em relação a e .
Passo 3
**Calculando as derivadas parciais:**
Vamos derivar em relação a e depois em relação a .
1. Derivada parcial em relação a :
2. Derivada parcial em relação a :
Então, o vetor gradiente é:
Passo 4
**Avaliando o gradiente no ponto :**
Substituímos e na expressão do gradiente:
Portanto, o vetor gradiente no ponto é .
Passo 5
**Curva de nível que passa pelo ponto :**
A curva de nível é onde a função é constante. Para encontrar a curva que passa por , calculamos:
Então, a equação da curva de nível é:
Essa é uma parábola que se abre para cima, deslocada 1 unidade para baixo.
Resposta
O vetor gradiente da função no ponto é . A curva de nível que passa por esse ponto é .
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