Encontre o vetor gradiente da função no ponto dado. Depois, esboce o gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto:
(b)
,
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e o ponto
. O objetivo é encontrar o vetor gradiente dessa função no ponto dado e depois desenhar (ou descrever) o gradiente junto com a curva de nível que passa por esse ponto. Vamos precisar saber o que é o gradiente e como calcular curvas de nível para resolver isso.
Passo 2
O que é o vetor gradiente?
O vetor gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e sua magnitude indica a taxa de variação nessa direção. Matemáticamente, é dado por:
O vetor gradiente de uma função
Então, para encontrar o gradiente da função
, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Vamos derivar em relação a
e depois em relação a
.
Vamos derivar
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o vetor gradiente é:
Passo 4
Avaliando o gradiente no ponto
:
Substituímos e
na expressão do gradiente:
Substituímos
Portanto, o vetor gradiente no ponto
é
.
Passo 5
Curva de nível que passa pelo ponto
:
A curva de nível é onde a função é constante. Para encontrar a curva que passa por
, calculamos:
A curva de nível é onde a função
Então, a equação da curva de nível é:
Essa é uma parábola que se abre para cima, deslocada 1 unidade para baixo.
Resposta
O vetor gradiente da função
no ponto
é
. A curva de nível que passa por esse ponto é
.