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Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado por e pelo cilindro que contorna a região delimitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) e que é limitado pela superfície e pelo cilindro que envolve a região delimitada pelas curvas e .
Matéria envolvida: Cálculo de volumes usando integrais múltiplas, especialmente integrais duplas para determinar a área da base e depois integrar para encontrar o volume.
O que vamos precisar:
  • Entender as curvas e para determinar os limites da integração.
  • Configurar a integral dupla para encontrar a área da base.
  • Usar a equação para relacionar com e integrar para encontrar o volume total.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região no plano delimitada por e . Essas duas curvas se interceptam quando e .
Substituindo uma na outra:
Portanto, as interseções são nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra entre e .
Escolhemos um valor de entre 0 e 1, por exemplo, :
Aqui, está abaixo de . Portanto, a região está delimitada por (inferior) e (superior).

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla para encontrar a área da base. Como varia de 0 a 1, e para cada , varia de até .
A área é dada por:

Passo 5

Agora vamos relacionar com usando a equação da superfície :
Dessa forma, para cada ponto no plano , varia de 0 até .

Passo 6

Para encontrar o volume , vamos integrar sobre a área da base:
Isso significa que para cada pequena área , a altura é , e somamos tudo isso para obter o volume total.

Passo 7

Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a :
Agora, nossa integral para o volume fica:

Passo 8

Vamos expandir a expressão antes de integrar:

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:

Passo 10

Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:
O mínimo múltiplo comum de 3, 5 e 4 é 60.

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante é unidades cúbicas.

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onde é o retângulo de vértices e .
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(b) ,
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