24
Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado por e pelo cilindro que contorna a região delimitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) e que é limitado pela superfície e pelo cilindro que envolve a região delimitada pelas curvas e .
Matéria envolvida: Cálculo de volumes usando integrais múltiplas, especialmente integrais duplas para determinar a área da base e depois integrar para encontrar o volume.
O que vamos precisar:
Entender as curvas e para determinar os limites da integração.
Configurar a integral dupla para encontrar a área da base.
Usar a equação para relacionar com e integrar para encontrar o volume total.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região no plano delimitada por e . Essas duas curvas se interceptam quando e .
Substituindo uma na outra:
Portanto, as interseções são nos pontos e .
Passo 3
Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra entre e .
Escolhemos um valor de entre 0 e 1, por exemplo, :
Aqui, está abaixo de . Portanto, a região está delimitada por (inferior) e (superior).
Passo 4
Vamos configurar a integral dupla para encontrar a área da base. Como varia de 0 a 1, e para cada , varia de até .
A área é dada por:
Passo 5
Agora vamos relacionar com usando a equação da superfície :
Dessa forma, para cada ponto no plano , varia de 0 até .
Passo 6
Para encontrar o volume , vamos integrar sobre a área da base:
Isso significa que para cada pequena área , a altura é , e somamos tudo isso para obter o volume total.
Passo 7
Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a :
Agora, nossa integral para o volume fica:
Passo 8
Vamos expandir a expressão antes de integrar:
Passo 9
Agora, integramos termo a termo:
Passo 10
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:
O mínimo múltiplo comum de 3, 5 e 4 é 60.
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante é unidades cúbicas.