A fim de verificar certas propriedades de algumas medidas numéricas descritivas considere o seguinte conjunto de dados:
.
© Multiplique a quantidade 10 em todos os valores desses dados e recalcule as medidas citadas no item (a). O que se pode concluir sobre o efeito de multiplicar uma constante c em cada valor dos dados sobre cada uma daquelas medidas?
© Multiplique a quantidade 10 em todos os valores desses dados e recalcule as medidas citadas no item (a). O que se pode concluir sobre o efeito de multiplicar uma constante c em cada valor dos dados sobre cada uma daquelas medidas?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de dados numéricos:
. A tarefa é multiplicar cada um desses valores por 10 e recalcular as medidas descritivas que foram mencionadas no item (a). Além disso, queremos concluir como multiplicar cada valor por uma constante
afeta essas medidas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as medidas de tendência central e dispersão, como média, mediana, moda, variância e desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar cada valor dos dados por 10:
Então, o novo conjunto de dados é:
.
Passo 3
Agora, vamos recalcular as medidas descritivas para o novo conjunto de dados.
Média (
):
A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
Mediana:
A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Como temos 7 valores, a mediana é o 4º valor.
Moda:
A moda é o valor que mais se repete. Aqui, o número 130 aparece três vezes.
Variância (
):
A variância mede a dispersão dos dados em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença ao quadrado em relação à média:
Somamos essas diferenças e dividimos pelo número de valores:
Desvio Padrão (
):
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
Passo 4
Agora, vamos analisar o efeito de multiplicar cada valor por uma constante
sobre essas medidas:
-
Média: Multiplicar cada valor por
também multiplica a média por . -
Mediana: A mediana será multiplicada por
. -
Moda: A moda será multiplicada por
. -
Variância: A variância será multiplicada por
. -
Desvio Padrão: O desvio padrão será multiplicado por
.
Isso ocorre porque a média, mediana e moda são medidas de posição que escalam linearmente com a constante
, enquanto a variância, que envolve o quadrado das diferenças, escala com
. O desvio padrão, sendo a raiz quadrada da variância, volta a escalar linearmente com
.
Resposta
Após multiplicar cada valor por 10, as medidas recalculadas são:
- Média:
- Mediana:
- Moda:
- Variância: aproximadamente
- Desvio Padrão: aproximadamente
Concluímos que ao multiplicar cada valor dos dados por uma constante
, a média, mediana, moda e o desvio padrão são multiplicados por
, enquanto a variância é multiplicada por
.
Exercícios relacionados
Considere as seguintes alturas dos cascos ( em cm ) de uma amostra de 48 tartarugas pintadas ( 24 machos e 24 fêmeas), onde
representa a frequência absoluta simples,
representa a frequência absoluta acumulada e
representa a frequência relativa simples em porcentagem (use uma casa decimal quando necessário).
Machos | |||
---|---|---|---|
Altura |
|
|
|
35 | 3 | ||
37 | 2 | 5 | |
38 | 2 | 7 | 8,3 |
39 | 3 | ||
40 | 4 | ||
41 | 3 | ||
42 | 2 | ||
44 | 2 | ||
45 | 2 | ||
50 | 1 | 24 | 4,2 |
Total | 24 | - | 100 |
Fêmeas
Altura |
|
|
|
||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
42 | 1 | 1 | 4,2 | ||||||
44 | 2 | 3 | 8,3 | ||||||
46 | 3 | 6 | |||||||
48 | 3 | ||||||||
51 | 4 | 13 | |||||||
53 | 17 | ||||||||
56 | 2 | 19 | |||||||
59 | 2 | 21 | |||||||
61 | 2 | 23 | |||||||
65 | 1 | 24 | |||||||
Total | 24 | - | 100 | ||||||
(b) Complete a seguinte tabela de estatísticas descritivas para a variável | Grupo | Média | Mediana | Desvio-padrão | Min |
|
|
|
Max |
:—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | |
Machos | 40 | 35 | 50 | ||||||
Fêmeas | 6,1 | 56 | 65 |
Um grupo de estudantes do ensino médio foi submetido a um teste de matemática resultando nos seguintes dados:
Nota | Frequência Absoluta |
---|---|
|
14 |
|
28 |
|
27 |
|
11 |
|
4 |
© Calcule a nota média, mediana, a variância e o desvio padrão das notas.
- (OPCIONAL) Suponha que tenhamos uma amostra
e tenhamos calculado e para esta amostra. Agora, uma -ésima observação se torna disponível. Faça e serem a média e a variância da amostra, respectivamente, usando todas as observações.
(b) Mostre que.
A tabela abaixo mostra o número de meses em que houve aumento do nível de atividade de quinze empresas de porte pequeno
, médio
e grande
, dos setores comercial © e industrial (I).
Empresa | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Meses | 8 | 9 | 4 | 5 | 3 | 6 | 8 | 6 | 6 | 8 | 5 | 5 | 6 | 4 | 4 |
Setor | C | C | I | I | I | C | C | I | I | C | C | I | C | I | I |
Tamanho | G | M | G | M | M | P | G | M | P | M | P | P | M | M | G |
(b) Monte uma tabela de frequências para cada uma das variáveis. As tabelas devem conter as frequências absolutas simples e relativas.