A fim de verificar certas propriedades de algumas medidas numéricas descritivas considere o seguinte conjunto de dados: 10,12,13,13,13,14,16.
© Multiplique a quantidade 10 em todos os valores desses dados e recalcule as medidas citadas no item (a). O que se pode concluir sobre o efeito de multiplicar uma constante c em cada valor dos dados sobre cada uma daquelas medidas?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de dados numéricos: 10, 12, 13, 13, 13, 14, 16. A tarefa é multiplicar cada um desses valores por 10 e recalcular as medidas descritivas que foram mencionadas no item (a). Além disso, queremos concluir como multiplicar cada valor por uma constante c afeta essas medidas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as medidas de tendência central e dispersão, como média, mediana, moda, variância e desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar cada valor dos dados por 10:
10 times 10 = 100 12 times 10 = 120 13 times 10 = 130 13 times 10 = 130 13 times 10 = 130 14 times 10 = 140 16 times 10 = 160
Então, o novo conjunto de dados é: 100, 120, 130, 130, 130, 140, 160.

Passo 3

Agora, vamos recalcular as medidas descritivas para o novo conjunto de dados.
Média ( barx):
A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
barx = 100 + 120 + 130 + 130 + 130 + 140 + 1607 = 9107 = 130
Mediana:
A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Como temos 7 valores, a mediana é o 4º valor.
Mediana = 130
Moda:
A moda é o valor que mais se repete. Aqui, o número 130 aparece três vezes.
Moda = 130
Variância ( sigma^2):
A variância mede a dispersão dos dados em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença ao quadrado em relação à média:
(100 - 130)^2 = 900 (120 - 130)^2 = 100 (130 - 130)^2 = 0 (130 - 130)^2 = 0 (130 - 130)^2 = 0 (140 - 130)^2 = 100 (160 - 130)^2 = 900
Somamos essas diferenças e dividimos pelo número de valores:
sigma^2 = 900 + 100 + 0 + 0 + 0 + 100 + 9007 = 20007 approx 285.71
Desvio Padrão ( sigma):
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
sigma = raiz285.71 approx 16.90

Passo 4

Agora, vamos analisar o efeito de multiplicar cada valor por uma constante c sobre essas medidas:
  • Média: Multiplicar cada valor por c também multiplica a média por c.
    barxnovo = c times barx
  • Mediana: A mediana será multiplicada por c.
    Mediananovo = c times Mediana
  • Moda: A moda será multiplicada por c.
    Modanovo = c times Moda
  • Variância: A variância será multiplicada por c^2.
    sigma^2novo = c^2 times sigma^2
  • Desvio Padrão: O desvio padrão será multiplicado por c.
    sigmanovo = c times sigma
Isso ocorre porque a média, mediana e moda são medidas de posição que escalam linearmente com a constante c, enquanto a variância, que envolve o quadrado das diferenças, escala com c^2. O desvio padrão, sendo a raiz quadrada da variância, volta a escalar linearmente com c.

Resposta

Após multiplicar cada valor por 10, as medidas recalculadas são:
  • Média: 130
  • Mediana: 130
  • Moda: 130
  • Variância: aproximadamente 285.71
  • Desvio Padrão: aproximadamente 16.90
Concluímos que ao multiplicar cada valor dos dados por uma constante c, a média, mediana, moda e o desvio padrão são multiplicados por c, enquanto a variância é multiplicada por c^2.

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