Em 1968, a nave espacial Apollo 8 foi colocada numa órbita circular em torno da Lua, a uma altitude de 113 km acima da superfície. O período observado dessa órbita foi de 1 hora e 59 minutos. Sabendo que o raio da Lua é de 1.738 km , utilize esses dados para calcular:
velocidade de escape da Lua;

Passo 1

Então, temos um problema sobre a nave Apollo 8 que orbita a Lua! A gente precisa calcular a velocidade de escape da Lua usando os dados fornecidos: altitude da órbita (113 km), período da órbita (1 hora e 59 minutos) e o raio da Lua (1.738 km). Vamos precisar de conceitos de Leis de Kepler e Física Gravitacional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a nave está em uma órbita circular. Para isso, usamos a Lei da Gravitação Universal de Newton, que relaciona a força gravitacional com a força centrípeta necessária para manter a órbita. A fórmula básica é:
G cdot M(R + h)^2 = v^2R + h
Aqui, é a constante gravitacional, é a massa da Lua, é o raio da Lua, é a altitude da órbita, e é a velocidade orbital da nave.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a massa da Lua M = v^2 cdot (R + h)G . Para isso, reescrevemos a equação anterior isolando v = 2 pi (R + h)T :
Mas antes, precisamos calcular a velocidade orbital . Sabemos que a velocidade em uma órbita circular é:
Onde é o período da órbita em segundos.

Passo 4

Vamos converter todos os valores para unidades consistentes:
  • Raio da Lua R + h = 1.738 times 10^6 + 113 times 10^3 = 1.851 times 10^6 , m km = m
  • Altitude km = m
  • Período hora e 59 minutos = minutos = segundos
  • Constante gravitacional N·m²/kg²
Agora, calculamos :

Passo 5

Calculamos a velocidade orbital v = 2 pi times 1.851 times 10^67140 approx 1.630 times 10^3 , m/s :
M = (1.630 times 10^3)^2 times 1.851 times 10^66.674 times 10^-11 approx 7.35 times 10^22 , kg
Agora, usamos essa velocidade para encontrar a massa da Lua :

Passo 6

Com a massa da Lua conhecida, podemos calcular a velocidade de escape usando a fórmula:
vescape = raiz2 G MR
Substituindo os valores:
vescape = raiz2 times 6.674 times 10^-11 times 7.35 times 10^221.738 times 10^6 approx 2.38 times 10^3 , m/s

Resposta

A velocidade de escape da Lua é aproximadamente 2,38 km/s.

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Em 1968, a nave espacial Apollo 8 foi colocada numa órbita circular em torno da Lua, a uma altitude de 113 km acima da superfície. O período observado dessa órbita foi de 1 hora e 59 minutos. Sabendo que o raio da Lua é de 1.738 km , utilize esses dados para calcular:
A relação entre velocidade de escape da Terra e da Lua.