Muitos satélites se movem em um círculo no plano equatorial da Terra numa altura tal que sempre permanecem sobre um mesmo ponto da Terra.
Mostre qual é a latitude máxima na qual um receptor pode estar situado para receber sinais de radio emitidos por esse tipo de satélite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um satélite que está girando em um círculo no plano equatorial da Terra, ou seja, ele está sempre acima do mesmo ponto na linha do equador. A missão aqui é descobrir qual é a latitude máxima em que um receptor pode estar para ainda conseguir receber os sinais de rádio desse satélite. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e trigonometria relacionadas à órbita terrestre.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine a Terra como uma esfera com raio . O satélite está orbitando a uma altura acima da superfície da Terra, então a distância do centro da Terra até o satélite é . Queremos encontrar o ângulo de latitude onde o receptor está localizado, de modo que o satélite esteja exatamente no horizonte desse ponto.

Passo 3

Para que o satélite esteja no horizonte, a linha de visão do receptor ao satélite deve ser tangente à superfície da Terra. Isso forma um triângulo retângulo onde:
  • O centro da Terra é um vértice.
  • O receptor está na superfície terrestre, outro vértice.
  • O satélite está no terceiro vértice.
Nesse triângulo, temos:
  • A hipotenusa é .
  • Um cateto é , que é o raio da Terra.
  • O outro cateto é a linha de visão tangente.

Passo 4

Agora, vamos usar a trigonometria para relacionar esses lados. Sabemos que o cosseno do ângulo cos(phi) = RS (que é a latitude máxima) é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa. Então:
Onde:
  • é a latitude máxima.
  • é o raio da Terra.
  • é a distância do centro da Terra ao satélite.

Passo 5

Para encontrar phi = arccos(RS) , basta isolar o ângulo usando a função arco cosseno:

Resposta

A latitude máxima na qual um receptor pode estar situado para receber sinais de rádio emitidos por um satélite geostacionário é:
phi = arccos(RR + h)
Onde:
  • é o raio da Terra.
  • é a altura do satélite acima da superfície terrestre.

Exercícios relacionados

Em 1968, a nave espacial Apollo 8 foi colocada numa órbita circular em torno da Lua, a uma altitude de 113 km acima da superfície. O período observado dessa órbita foi de 1 hora e 59 minutos. Sabendo que o raio da Lua é de 1.738 km , utilize esses dados para calcular:
velocidade de escape da Lua;
Considerando que a desaceleração desse carro foi 5 m / s^2, calcule a distância mínima que o carro tinha que ter, no início da frenagem, para não colidir com o caminhão.
Suponha agora a mesma situação, porém a velocidade do carro no início da frenagem era de 70 km / h (ao invés de 60 km / h ) e que a distância entre carro e o caminhão era a mesma que encontramos no item anterior. Qual a velocidade que o carro colidirá com o caminhão, considerando a mesma desaceleração de 5 m / s^2 ?
Em 1968, a nave espacial Apollo 8 foi colocada numa órbita circular em torno da Lua, a uma altitude de 113 km acima da superfície. O período observado dessa órbita foi de 1 hora e 59 minutos. Sabendo que o raio da Lua é de 1.738 km , utilize esses dados para calcular:
A relação entre velocidade de escape da Terra e da Lua.
Considere um satélite percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior (perigeu) ele está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre e em seu ponto superior (apogeu) ele está a 4000 km de altura.
Para que o satélite escape da atração gravitacional da Terra a partir do acionamento de seus propulsores enquanto ele se encontra no perigeu da sua órbita, qual deve ser o aumento de velocidade proporcionado? E se tal acionamento acontecer no apogeu?