Dados
, com
, encontre o resto da divisão do polinômio
pelo polinômio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o resto da divisão do polinômio
pelo polinômio
, onde
e
são números naturais e
. O conteúdo que vamos usar aqui é de divisão de polinômios e aritmética modular com polinômios. Precisamos entender como dividir dois polinômios e encontrar o resto dessa divisão.
Passo 2
Primeiro, lembremos que quando dividimos um polinômio
por outro polinômio
, obtemos um quociente
e um resto
, de tal forma que:
E o grau de
é menor que o grau de
.
Passo 3
No nosso caso,
e
. Queremos achar
, o resto dessa divisão. Para facilitar, vamos usar a aritmética modular: queremos encontrar
.
Passo 4
Observando a estrutura dos polinômios, notamos que
pode ser reescrito como
. Isso significa que
é equivalente a
quando estamos trabalhando com esse módulo.
Passo 5
Agora, vamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então podemos escrever
para algum
. Assim:
Passo 6
Como
, substituímos na expressão acima:
Passo 7
Agora,
, já que qualquer potência par de -1 é igual a 1. Então:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos
por 1:
Resposta
O resto da divisão de
por
é
.
Exercícios relacionados
Sabendo que a posição de um objeto de massa
no instante
é dada por
(
e
não simultaneamente nulos),
interprete fisicamente o caso do trabalho negativo. (Sugestão: de que modo o sentido da força se relaciona com o sentido da trajetória do objeto?)
interprete fisicamente o caso do trabalho negativo. (Sugestão: de que modo o sentido da força se relaciona com o sentido da trajetória do objeto?)
prove que
é irracional.
Encontre todos os
para os quais