Dados m, n em N, com m > n, encontre o resto da divisão do polinômio x^(2^m) + 1 pelo polinômio x^(2^n) + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o resto da divisão do polinômio pelo polinômio , onde e são números naturais e . O conteúdo que vamos usar aqui é de divisão de polinômios e aritmética modular com polinômios. Precisamos entender como dividir dois polinômios e encontrar o resto dessa divisão.

Passo 2

Primeiro, lembremos que quando dividimos um polinômio por outro polinômio , obtemos um quociente e um resto , de tal forma que:
E o grau de é menor que o grau de .

Passo 3

No nosso caso, e . Queremos achar , o resto dessa divisão. Para facilitar, vamos usar a aritmética modular: queremos encontrar .

Passo 4

Observando a estrutura dos polinômios, notamos que pode ser reescrito como . Isso significa que é equivalente a quando estamos trabalhando com esse módulo.

Passo 5

Agora, vamos expressar em termos de . Sabemos que , então podemos escrever para algum . Assim:

Passo 6

Como , substituímos na expressão acima:

Passo 7

Agora, , já que qualquer potência par de -1 é igual a 1. Então:

Passo 8

Lembrando que , substituímos por 1:

Resposta

O resto da divisão de por é .

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