Sabendo que a posição de um objeto de massa
no instante
é dada por
(
e
não simultaneamente nulos),
interprete fisicamente o caso do trabalho negativo. (Sugestão: de que modo o sentido da força se relaciona com o sentido da trajetória do objeto?)
interprete fisicamente o caso do trabalho negativo. (Sugestão: de que modo o sentido da força se relaciona com o sentido da trajetória do objeto?)
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre a posição de um objeto com massa
em função do tempo, dada por , onde
e
não são ambos zero. O conteúdo envolve Trabalho e Força na física. Para resolver, vamos lembrar como calcular o trabalho feito por uma força e entender quando esse trabalho pode ser negativo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é trabalho na física. Trabalho (
) é uma medida de energia transferida por uma força ao mover um objeto. A fórmula para calcular o trabalho quando a força e o deslocamento estão envolvidos é:
Aqui,
é a força aplicada e
é um pequeno deslocamento do objeto. O ponto entre os vetores indica o produto escalar, que leva em conta o ângulo entre a força e o deslocamento.
Passo 3
Para achar a força
, usamos a segunda lei de Newton, que diz que
, onde
é a aceleração. Primeiro, vamos encontrar a velocidade
derivando a posição em relação ao tempo:
Agora, derivamos a velocidade para encontrar a aceleração:
Então, a força é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o trabalho
. Usando a fórmula do trabalho, temos:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Fatorando :
Então, o trabalho fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral . Uma forma fácil é usar uma substituição. Seja , então
. A integral fica:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do trabalho:
Resposta
O trabalho realizado é
. Portanto, o trabalho é negativo quando
, ou seja, quando a componente da força na direção
é maior que na direção
, fazendo a força agir na direção oposta ao movimento do objeto.