Sabendo que a posição de um objeto de massa m no instante t é dada por r(t) = a sen(t) i + b cos(t) j, 0 <= t <= pi/2 ( a e b não simultaneamente nulos),
interprete fisicamente o caso do trabalho negativo. (Sugestão: de que modo o sentido da força se relaciona com o sentido da trajetória do objeto?)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre a posição de um objeto com massa em função do tempo, dada por , onde e não são ambos zero. O conteúdo envolve Trabalho e Força na física. Para resolver, vamos lembrar como calcular o trabalho feito por uma força e entender quando esse trabalho pode ser negativo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é trabalho na física. Trabalho ( ) é uma medida de energia transferida por uma força ao mover um objeto. A fórmula para calcular o trabalho quando a força e o deslocamento estão envolvidos é:
Aqui, é a força aplicada e é um pequeno deslocamento do objeto. O ponto entre os vetores indica o produto escalar, que leva em conta o ângulo entre a força e o deslocamento.

Passo 3

Para achar a força , usamos a segunda lei de Newton, que diz que , onde é a aceleração. Primeiro, vamos encontrar a velocidade derivando a posição em relação ao tempo:
Agora, derivamos a velocidade para encontrar a aceleração:
Então, a força é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho . Usando a fórmula do trabalho, temos:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Fatorando :
Então, o trabalho fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral . Uma forma fácil é usar uma substituição. Seja , então . A integral fica:
Aplicando os limites de a :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do trabalho:

Resposta

O trabalho realizado é . Portanto, o trabalho é negativo quando , ou seja, quando a componente da força na direção é maior que na direção , fazendo a força agir na direção oposta ao movimento do objeto.

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