(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para a gente determinar se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor. Vamos precisar usar conceitos de limites, especialmente sobre comportamento de funções quando se aproximam de certos valores.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente para entender como elas se comportam quando
se aproxima de 1.
-
: Sabemos que , então conforme se aproxima de 1, se aproxima de 0. Elevando ao quadrado, também se aproxima de 0. -
: Conforme se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0. Dependendo de como se aproxima de 1 (pela direita ou esquerda), tende a ou . -
: A função seno oscila entre -1 e 1 para todos os valores reais. Então, mesmo que
esteja indo para infinito, continuará oscilando entre -1 e 1.
Passo 3
Agora, vamos juntar essas partes. Temos o produto de
, que está se aproximando de 0, com , que está oscilando entre -1 e 1. Então, multiplicar algo que está indo para 0 por algo que está limitado (entre -1 e 1) nos dá uma tendência para 0.
Em termos de teoria, sabemos que se
e
é limitado (ou seja, existe um número
tal que
para todo
próximo de 1), então
.
No nosso caso:
-
- está limitado por -1 e 1.
Portanto, pelo teorema do produto de limites, o limite total será 0.
Resposta
O limite existe e seu valor é 0.
Exercícios relacionados
(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
b. .
b.
Sejam
e
. Mostre que:
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
b. .
b.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
b. .
b.