(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para a gente determinar se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor. Vamos precisar usar conceitos de limites, especialmente sobre comportamento de funções quando se aproximam de certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente para entender como elas se comportam quando se aproxima de 1.
  • : Sabemos que , então conforme se aproxima de 1, se aproxima de 0. Elevando ao quadrado, também se aproxima de 0.
  • : Conforme se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0. Dependendo de como se aproxima de 1 (pela direita ou esquerda), tende a ou .
  • : A função seno oscila entre -1 e 1 para todos os valores reais. Então, mesmo que esteja indo para infinito, continuará oscilando entre -1 e 1.

Passo 3

Agora, vamos juntar essas partes. Temos o produto de , que está se aproximando de 0, com , que está oscilando entre -1 e 1. Então, multiplicar algo que está indo para 0 por algo que está limitado (entre -1 e 1) nos dá uma tendência para 0.
Em termos de teoria, sabemos que se e é limitado (ou seja, existe um número tal que para todo próximo de 1), então .
No nosso caso:
  • está limitado por -1 e 1.
Portanto, pelo teorema do produto de limites, o limite total será 0.

Resposta

O limite existe e seu valor é 0.

Exercícios relacionados

(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
b. .
Sejam e . Mostre que:
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
b. .
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
b. .