(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
b.
.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
.
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem potências. Para resolver, vamos precisar entender como funções exponenciais se comportam quando a base e o expoente estão mudando. Vamos usar logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o limite que queremos encontrar de
:
Para facilitar o cálculo, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos reescrever:
Agora, precisamos calcular
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
e
conforme
:
-
tende a 0. -
tende a .
Então, temos uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a
e
, respectivamente.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Como
,
.
Passo 6
Então, temos que
. Para encontrar
, aplicamos a função exponencial nos dois lados:
Resposta
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Mostre que:
Equações de cônicas são muito comuns na geometria analítica. Esboce detalhadamente o lugar geométrico das seguintes cônicas no plano real, usando as propriedades de simetria das mesmas e um gráfico definido localmente (isto é, um b. A hipérbole
(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
a.
a.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
b. .
b.