(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
b. lim x 0^+ x^x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: .
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem potências. Para resolver, vamos precisar entender como funções exponenciais se comportam quando a base e o expoente estão mudando. Vamos usar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite que queremos encontrar de L = limx 0^+ x^x^2 :
ln L = ln ( limx 0^+ x^x^2 )
Para facilitar o cálculo, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz ln L = limx 0^+ x^2 cdot ln x , podemos reescrever:
Agora, precisamos calcular .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de limx 0^+ x^2 cdot ln x = limx 0^+ ln x1x^2 e conforme :
  • tende a 0.
  • tende a .
Então, temos uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a e , respectivamente.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
limx 0^+ ddx (ln x)ddx ( 1x^2 ) = limx 0^+ 1x-2x^3 = limx 0^+ -x^32x = limx 0^+ -x^22
Como , .

Passo 6

Então, temos que L = e^0 = 1 . Para encontrar , aplicamos a função exponencial nos dois lados:

Resposta

Exercícios relacionados