Sejam f(x)=x^2 sen(1x) e g(x)=x. Mostre que:
  • lim x 0 f(x)g(x)=0

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite de quando tende a 0, onde e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta e usar um método chamado Teorema do Aperto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão que queremos calcular:
limx 0 f(x)g(x) = limx 0 x^2 sin(1x)x

Passo 3

Simplificando a fração, dividimos x^2 sin(1x)x = x sin(1x) por limx 0 x sin(1x) :
Então, o limite que precisamos calcular agora é:

Passo 4

Lembre-se que a função seno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin(1x) <= 1

Passo 5

Multiplicando todos os lados da desigualdade por -|x| <= x sin(1x) <= |x| (que é positivo perto de 0), temos:
Isso nos mostra que está “presa” entre e .

Passo 6

Sabemos que:
limx 0 -|x| = 0 e limx 0 |x| = 0
Pelo Teorema do Aperto, se uma função está entre duas outras que tendem ao mesmo limite, ela também tende a esse limite. Então:
limx 0 x sin(1x) = 0

Resposta

0

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