Sejam
e
. Mostre que:
-
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite de
quando
tende a 0, onde
e
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta e usar um método chamado Teorema do Aperto.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão que queremos calcular:
Passo 3
Simplificando a fração, dividimos
por
:
Então, o limite que precisamos calcular agora é:
Passo 4
Lembre-se que a função seno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Passo 5
Multiplicando todos os lados da desigualdade por
(que é positivo perto de 0), temos:
Isso nos mostra que
está “presa” entre
e
.
Passo 6
Sabemos que:
Pelo Teorema do Aperto, se uma função está entre duas outras que tendem ao mesmo limite, ela também tende a esse limite. Então: