Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
b. (2CH-2013.2)
.
b. (2CH-2013.2)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A gente precisa analisar a função
. Isso envolve matérias de Álgebra e Introdução ao Cálculo, especialmente entendi o domínio da função, simplificação de expressões e análise de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o domínio da função e simplificar frações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, precisamos encontrar os valores de
que fazem o denominador zero.
A função é:
Vamos resolver
:
Isso nos dá:
A equação
não tem solução real porque
não é possível no conjunto dos números reais. Então, o único valor que precisamos excluir do domínio é
.
Dominio:
exceto
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função
. Olhando para o numerador e o denominador:
Numerador:
pode ser fatorado como
.
Denominador:
.
Então, a função fica:
Não há fatores comuns para cancelar, então essa é a forma simplificada da função.
Passo 4
Vamos analisar possíveis assíntotas e comportamentos da função:
-
Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero e a função não pode ser simplificada para eliminar esse ponto. Como apenas
torna o denominador zero e não há cancelamento, temos uma assíntota vertical em . -
Assíntota horizontal: Olhamos para os limites quando
tende para ou . A função tem grau no numerador 2 e no denominador 3. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é .
Passo 5
Vamos calcular os limites importantes:
- Quando
tende a 0:
Esse limite tende para
se
se aproxima de 0 pela direita e para
se se aproxima pela esquerda, confirmando a assíntota vertical.
- Quando
tende para ou :
Isso confirma a assíntota horizontal
.
Resposta
A função
está definida para todos os reais exceto
. Ela possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.
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c.
c.
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. 1 .
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e. .
e.