Determine partial zpartial s da função z=e^y cos theta, y=s t, theta=raizs^2+t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a pergunta quer é que a gente encontre a derivada parcial de em relação a na função , onde e . Isso tá relacionado ao cálculo de derivadas parciais em funções de múltiplas variáveis. A gente vai precisar usar a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como depende de . A função é dada em termos de e , que por sua vez são funções de e . Então, para achar , precisamos ver como muda quando muda, considerando essas dependências.

Passo 3

Aqui entra a regra da cadeia para derivadas parciais. Ela diz que se partial zpartial s = partial zpartial y cdot partial ypartial s + partial zpartial theta cdot partial thetapartial s depende de e , e ambos dependem de , então:
Isso significa que a mudança em com respeito a vem da soma das mudanças de em relação a e , multiplicadas pelas mudanças de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. Derivada de partial zpartial y = e^y cos theta em relação a partial ypartial s = t :
partial zpartial y cdot partial ypartial s = e^y cos theta cdot t
  1. Derivada de em relação a :
Então, a primeira parte da regra da cadeia fica:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte:
  1. Derivada de partial zpartial theta = -e^y sin theta em relação a partial thetapartial s = sraizs^2 + t^2 = stheta :
partial zpartial theta cdot partial thetapartial s = -e^y sin theta cdot stheta
  1. Derivada de em relação a :
Primeiro, relembrando que , então:
Então, a segunda parte fica:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
partial zpartial s = e^y cos theta cdot t - e^y sin theta cdot stheta
Podemos fatorar partial zpartial s = e^y ( t cos theta - stheta sin theta ) para deixar a expressão mais simples:

Resposta

A derivada parcial de partial zpartial s = e^y ( t cos theta - stheta sin theta ) em relação a é:

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