Determine
da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a pergunta quer é que a gente encontre a derivada parcial de
em relação a
na função
, onde
e
. Isso tá relacionado ao cálculo de derivadas parciais em funções de múltiplas variáveis. A gente vai precisar usar a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como
depende de
. A função
é dada em termos de
e
, que por sua vez são funções de
e
. Então, para achar
, precisamos ver como
muda quando
muda, considerando essas dependências.
Passo 3
Aqui entra a regra da cadeia para derivadas parciais. Ela diz que se
depende de
e
, e ambos dependem de
, então:
Isso significa que a mudança em
com respeito a
vem da soma das mudanças de
em relação a
e
, multiplicadas pelas mudanças de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Então, a primeira parte da regra da cadeia fica:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Primeiro, relembrando que
, então:
Então, a segunda parte fica:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais simples:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
se
e
têm probabilidade não nula e
, então não são independentes.
Usando o teste de D (i)
Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(b)
(b)