, onde
e x ,
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a expressão
e queremos mostrar que ela pode ser escrita como
multiplicado por uma soma de termos que envolvem potências de
e
. Isso está relacionado ao fatoramento de polinômios, um tópico de álgebra que nos ajuda a simplificar expressões usando fatores comuns.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa fatorar
. Fatorar uma expressão significa escrevê-la como um produto de outras expressões menores. No caso de
, queremos encontrar uma expressão que, quando multiplicada por
, resulte em
.
Passo 3
Para começar, vamos lembrar da fórmula de fatoração para a diferença de potências. Sabemos que:
Essa fórmula nos diz que a diferença de duas potências pode ser sempre fatorada como
multiplicado por uma soma de termos que diminuem o expoente de
e aumentam o de
.
Passo 4
Vamos ver por que essa fatoração funciona. Vamos multiplicar
pela soma dentro dos parênteses:
Distribuindo o
e o
em cada termo da soma:
Passo 5
Agora, simplificamos cada termo:
Observamos que muitos termos se cancelam:
-
e se cancelam. -
e também, e assim por diante.
Passo 6
Após o cancelamento, restam apenas os termos
e
:
Isso confirma que nossa fatoração está correta.
Resposta
Portanto, mostramos que: