x^n - y^n = (x - y)(x^(n-1) + x^(n-2) * y + ... + x^(n-j) * y^(n-1) + ... + y^(n-1)), onde n in N e x , y in R.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a expressão e queremos mostrar que ela pode ser escrita como multiplicado por uma soma de termos que envolvem potências de e . Isso está relacionado ao fatoramento de polinômios, um tópico de álgebra que nos ajuda a simplificar expressões usando fatores comuns.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fatorar . Fatorar uma expressão significa escrevê-la como um produto de outras expressões menores. No caso de , queremos encontrar uma expressão que, quando multiplicada por , resulte em .

Passo 3

Para começar, vamos lembrar da fórmula de fatoração para a diferença de potências. Sabemos que:
Essa fórmula nos diz que a diferença de duas potências pode ser sempre fatorada como multiplicado por uma soma de termos que diminuem o expoente de e aumentam o de .

Passo 4

Vamos ver por que essa fatoração funciona. Vamos multiplicar pela soma dentro dos parênteses:
Distribuindo o e o em cada termo da soma:

Passo 5

Agora, simplificamos cada termo:
Observamos que muitos termos se cancelam:
  • e se cancelam.
  • e também, e assim por diante.

Passo 6

Após o cancelamento, restam apenas os termos e :
Isso confirma que nossa fatoração está correta.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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