Seja f(x)=x, com x in[0,1] e a sequência de termo geral sn=sumi=1^n f(in) cdot De, sendo De.
a) Calcule S4 e interprete geometricamente esta soma. O que ela significa?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos a função sn = sumi=1^n f(in) cdot De definida no intervalo . A sequência de termos gerais é dada por:
onde .
Para resolver esse exercício, vamos calcular , que é quando . Depois, vamos interpretar geometricamente essa soma, entendendo o que ela representa.

Passo 2

Vamos calcular S4 = sumi=1^4 f(i4) cdot 14 . Substituindo S4 = sumi=1^4 (i4) cdot 14 na fórmula de :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo da soma:
Para i = 1: & (14) cdot 14 = 116 Para i = 2: & (24) cdot 14 = 216 = 18 Para i = 3: & (34) cdot 14 = 316 Para i = 4: & (44) cdot 14 = 416 = 14

Passo 4

Agora, somamos todos esses termos:
S4 = 116 + 18 + 316 + 14
Para facilitar a soma, vamos converter todas as frações para ter denominador 16:
18 = 216 e 14 = 416
Então:
S4 = 116 + 216 + 316 + 416 = 1016 = 58

Passo 5

Agora, vamos interpretar geométricamente essa soma. A expressão representa uma soma de áreas de retângulos sob a curva da função no intervalo . Cada retângulo tem largura e altura .
Para , dividimos o intervalo em 4 partes iguais. Em cada divisão, calculamos a altura do retângulo no ponto e multiplicamos pela largura . A soma desses retângulos aproxima a área sob a curva de entre 0 e 1.

Resposta

. Geometricamente, essa soma representa a aproximação da área sob a reta no intervalo usando 4 retângulos, onde cada retângulo tem largura e altura determinada pela função no ponto correspondente.

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