As barras indica que os algarismos se repetem infinitamente. Expresse a decimal periódica como uma série e ache o número racional que ela representa.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um número decimal periódico: . O objetivo aqui é fazer duas coisas:
Expressar esse número como uma série.
Encontrar a fração que representa esse número decimal.
Para isso, vamos precisar entender como funcionam os números decimais periódicos e como transformá-los em frações. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o ponto e a barra no número . A parte inteira é 3, e a parte decimal é 2394 que se repete indefinidamente: .
Para expressar isso como uma série, vamos considerar que cada repetição de 2394 está em uma posição seguinte de casas decimais, ou seja, cada bloco de 2394 é dividido por , já que tem 4 dígitos.
Então, o número pode ser escrito como:
Essa é uma série geométrica, onde cada termo é a anterior multiplicada por .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a fração que representa esse número decimal periódico. Para isso, usamos uma técnica que envolve multiplicar o número por uma potência de 10 que faça a parte periódica alinhar.
Vamos chamar nosso número de :
Como a parte que se repete tem 4 dígitos (2394), vamos multiplicar por para deslocar a vírgula 4 casas para a direita:
Agora, subtraímos a equação original da nova:
Passo 4
Para encontrar , basta dividir ambos os lados da equação por 9999:
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador pelo maior divisor comum deles. Nesse caso, ambos são divisíveis por 9:
Então, a fração simplificada que representa o número decimal é .
Resposta
O número decimal periódico pode ser expresso como a série: