[2,50] Um bueiro circular sob uma rodovia tem 1,8 m de diâmetro e é feito de concreto com n=0,013 sm^-1 / 3. A declividade longitudinal apresenta um desnível na vertical de 0,3 m a cada 150 m de comprimento na horizontal. Calcule a vazão que se estabelece em escoamento permanente uniforme quando o bueiro funcionar a meia seção.
a) Determinar a velocidade média do escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um bueiro circular com diâmetro de 1,8 metros, feito de concreto com um coeficiente de Manning $ n = 0,013 , sm^{-1/3} $. A inclinação do terreno faz com que haja um desnível vertical de 0,3 metros a cada 150 metros na horizontal. Queremos calcular a vazão que se estabelece quando o bueiro está funcionando a meia seção. Especificamente, na parte a), precisamos determinar a velocidade média do escoamento. Para isso, vamos usar a fórmula de Manning, que relaciona a velocidade do fluxo com o coeficiente de rugosidade, o raio hidráulico e a declividade do terreno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o bueiro estar funcionando a meia seção. Como o bueiro é circular com diâmetro de 1,8 metros, a meia seção corresponde a um semicirculo. Portanto, o raio $ R $ do bueiro é metade do diâmetro:
R

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do fluxo quando o bueiro está meio cheio. Para um semicirculo, a área $ A $ é metade da área de um círculo completo:
A

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o perímetro molhado $ P $ da seção do fluxo. Para um semicirculo, o perímetro molhado é a metade da circunferência completa:
P

Passo 5

O próximo passo é calcular o raio hidráulico $ R_h $, que é a relação entre a área da seção transversal $ A $ e o perímetro molhado $ P $:
Rh

Passo 6

Agora, vamos aplicar a fórmula de Manning para encontrar a velocidade média $ V $ do escoamento:
V
Onde:
  • $ n = 0,013 , sm^{-1/3} $ (coeficiente de rugosidade)
  • $ R_h = 0,45 , m $ (raio hidráulico)
  • $ S = \frac{0,3}{150} = 0,002 $ (declividade)

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula de Manning:
V = 10,013 times (0,45)^2/3 times (0,002)^1/2
Primeiro, calculamos cada parte separadamente:
(0,45)^2/3 approx 0,45^0,6667 approx 0,56
(0,002)^1/2 = raiz0,002 approx 0,0447
Agora, multiplicamos tudo:
V approx 10,013 times 0,56 times 0,0447 approx 76,92 times 0,0250 approx 1,923 , m/s

Resposta

A velocidade média do escoamento é aproximadamente 1,92 metros por segundo.

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