A agitação dos micro-organismos em um meio de cultivo é induzida pela tensão de cisalhamento ( tau ) entre o meio de cultivo e os micro-organismos. O movimento das microorganismos é dependente da aceleração da gravidade (g), do diâmetro médio (D) e da massa específica ( rho c ) das células, bem como da massa específica ( rho a ) e da viscosidade da água ( mu a ). Usando o método das variáveis repetidas, encontre os números adimensionais que relacionam a tensão de cisalhamento ( tau ) com os outros parâmetros citados no problema.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que a agitação dos micro-organismos é influenciada pela tensão de cisalhamento ( tau), a aceleração da gravidade ( g), o diâmetro médio das células ( D), a massa específica das células ( rhoc), a massa específica da água ( rhoa) e a viscosidade da água ( mua). O conteúdo principal aqui é a análise dimensional usando o método das variáveis repetidas. Para resolver isso, vamos precisar identificar as variáveis envolvidas, suas dimensões e depois combinar essas variáveis para formar números adimensionais que relacionem tau com os outros parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis e identificar suas dimensões básicas. As variáveis são:
  1. Tensão de cisalhamento, tau – dimensões: Massa / (Comprimento · Tempo²) ou [M][L]^-1[T]^-2
  2. Aceleração da gravidade, g – dimensões: Comprimento / Tempo² ou [L][T]^-2
  3. Diâmetro médio, D – dimensões: Comprimento ou [L]
  4. Massa específica das células, rhoc – dimensões: Massa / Volume ou [M][L]^-3
  5. Massa específica da água, rhoa – dimensões: Massa / Volume ou [M][L]^-3
  6. Viscosidade da água, mua – dimensões: Massa / (Comprimento · Tempo) ou [M][L]^-1[T]^-1

Passo 3

Agora, vamos identificar as dimensões fundamentais envolvidas. Observamos que as variáveis envolvem massa ( M), comprimento ( L) e tempo ( T). Então, temos três dimensões fundamentais: M, L, e T.

Passo 4

O próximo passo é determinar o número de números adimensionais que precisamos formar. Com 6 variáveis e 3 dimensões fundamentais, usando o teorema de Buckingham Pi, o número de números adimensionais será 6 - 3 = 3.

Passo 5

Escolhemos três variáveis repetidas que cubram todas as dimensões fundamentais. Vamos escolher tau, D, e rhoc como nossas variáveis repetidas.

Passo 6

Formamos os números adimensionais combinando as variáveis não repetidas ( g, rhoa, mua) com as variáveis repetidas ( tau, D, rhoc). Para cada uma, resolvemos a combinação de potências que anula as dimensões.
Por exemplo, para g, procuramos um número adimensional pi1 da forma:
pi1 = g cdot D^a cdot tau^b cdot rhoc^c
Resolvendo as dimensões, encontramos os exponents a, b, e c que tornam pi1 adimensional.

Passo 7

Repetimos o processo para rhoa e mua, formando pi2 e pi3 respectivamente:
pi2 = rhoa cdot D^d cdot tau^e cdot rhoc^f
pi3 = mua cdot D^g cdot tau^h cdot rhoc^i
Resolvendo cada equação dimensionalmente, encontramos os exponents apropriados para cada pi.

Passo 8

Após resolver as equações dimensionais, obtemos os três números adimensionais que relacionam a tensão de cisalhamento ( tau) com as outras variáveis:
  1. Número adimensional que relaciona g, D, e tau.
  2. Número adimensional que relaciona rhoa, D, e tau.
  3. Número adimensional que relaciona mua, D, e tau.

Resposta

Os números adimensionais obtidos são:
  1. pi1 = g Dtau
  2. pi2 = rhoarhoc
  3. pi3 = muatau D
Esses números relacionam a tensão de cisalhamento ( tau) com a aceleração da gravidade ( g), o diâmetro médio ( D), a massa específica das células ( rhoc), a massa específica da água ( rhoa) e a viscosidade da água ( mua).

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