A agitação dos micro-organismos em um meio de cultivo é induzida pela tensão de cisalhamento (
) entre o meio de cultivo e os micro-organismos. O movimento das microorganismos é dependente da aceleração da gravidade (g), do diâmetro médio (D) e da massa específica (
) das células, bem como da massa específica (
) e da viscosidade da água (
). Usando o método das variáveis repetidas, encontre os números adimensionais que relacionam a tensão de cisalhamento (
) com os outros parâmetros citados no problema.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que a agitação dos micro-organismos é influenciada pela tensão de cisalhamento (
), a aceleração da gravidade (
), o diâmetro médio das células (
), a massa específica das células (
), a massa específica da água (
) e a viscosidade da água (
). O conteúdo principal aqui é a análise dimensional usando o método das variáveis repetidas. Para resolver isso, vamos precisar identificar as variáveis envolvidas, suas dimensões e depois combinar essas variáveis para formar números adimensionais que relacionem
com os outros parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as variáveis e identificar suas dimensões básicas. As variáveis são:
- Tensão de cisalhamento,
– dimensões: Massa / (Comprimento · Tempo²) ou - Aceleração da gravidade,
– dimensões: Comprimento / Tempo² ou - Diâmetro médio,
– dimensões: Comprimento ou - Massa específica das células,
– dimensões: Massa / Volume ou - Massa específica da água,
– dimensões: Massa / Volume ou - Viscosidade da água,
– dimensões: Massa / (Comprimento · Tempo) ou
Passo 3
Agora, vamos identificar as dimensões fundamentais envolvidas. Observamos que as variáveis envolvem massa (
), comprimento (
) e tempo (
). Então, temos três dimensões fundamentais:
,
, e
.
Passo 4
O próximo passo é determinar o número de números adimensionais que precisamos formar. Com 6 variáveis e 3 dimensões fundamentais, usando o teorema de Buckingham Pi, o número de números adimensionais será
.
Passo 5
Escolhemos três variáveis repetidas que cubram todas as dimensões fundamentais. Vamos escolher
,
, e
como nossas variáveis repetidas.
Passo 6
Formamos os números adimensionais combinando as variáveis não repetidas (
,
,
) com as variáveis repetidas (
,
,
). Para cada uma, resolvemos a combinação de potências que anula as dimensões.
Por exemplo, para
, procuramos um número adimensional
da forma:
Resolvendo as dimensões, encontramos os exponents
,
, e
que tornam
adimensional.
Passo 7
Repetimos o processo para
e
, formando
e
respectivamente:
Resolvendo cada equação dimensionalmente, encontramos os exponents apropriados para cada
.
Passo 8
Após resolver as equações dimensionais, obtemos os três números adimensionais que relacionam a tensão de cisalhamento (
) com as outras variáveis:
- Número adimensional que relaciona
, , e . - Número adimensional que relaciona
, , e . - Número adimensional que relaciona
, , e .
Resposta
Os números adimensionais obtidos são:
Esses números relacionam a tensão de cisalhamento (
) com a aceleração da gravidade (
), o diâmetro médio (
), a massa específica das células (
), a massa específica da água (
) e a viscosidade da água (
).