[2.0 pt ] Calcule a integral de superfície integral duplaS y^2 z^2 d S onde S é a parte do cone z=raizx^2+y^2 compreendida pelos planos z=1 e z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcularmos a integral integral duplaS y^2 z^2 d S sobre a superfície S, que é a parte do cone z = raizx^2 + y^2 entre os planos z=1 e z=2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície que estamos integrando. O cone dado por z = raizx^2 + y^2 pode ser parametrizado usando coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e z = r. Essa parametrização é útil porque o cone tem simetria cilíndrica.

Passo 3

Com a parametrização cilíndrica, nosso parâmetro r varia de 1 a 2 (já que z vai de 1 a 2) e o ângulo theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a volta do cone. Então, podemos definir nossa parametrização r(r, theta) = (rcostheta, rsintheta, r).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial de área dS. Isso é dado pelo produto vetorial dos vetores parciais da parametrização em relação a r e theta. Calculando:
rr = (costheta, sintheta, 1), rtheta = (-rsintheta, rcostheta, 0)
O produto vetorial rr times rtheta resulta em:
rr times rtheta = (-rcostheta, -rsintheta, r)
A magnitude desse vetor é raizr^2cos^2theta + r^2sin^2theta + r^2 = rraiz2, então:
dS = rr times rtheta , dr , dtheta = rraiz2 , dr , dtheta

Passo 5

Agora substituímos as variáveis na função que vamos integrar. Como y = rsintheta e z = r, a função y^2 z^2 fica:
y^2 z^2 = (rsintheta)^2 cdot r^2 = r^4 sin^2theta
Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS y^2 z^2 d S = integral0^2pi integral1^2 r^4 sin^2theta cdot rraiz2 , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi sin^2theta , dtheta integral1^2 r^5 , dr

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em r:
integral1^2 r^5 , dr = [r^66]1^2 = 2^66 - 1^66 = 646 - 16 = 636 = 10,5
Agora, a integral em theta:
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi
Isso porque integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi.

Resposta

Multiplicando todos os fatores, temos:
raiz2 cdot pi cdot 10,5 = 10,5raiz2pi
Portanto, a integral de superfície é 10,5raiz2pi.

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