[2.0 pt ] Calcule a integral de superfície
onde
é a parte do cone
compreendida pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcularmos a integral
sobre a superfície
, que é a parte do cone
entre os planos
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que estamos integrando. O cone dado por
pode ser parametrizado usando coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. Essa parametrização é útil porque o cone tem simetria cilíndrica.
Passo 3
Com a parametrização cilíndrica, nosso parâmetro
varia de 1 a 2 (já que
vai de 1 a 2) e o ângulo
varia de 0 a
para cobrir toda a volta do cone. Então, podemos definir nossa parametrização
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial de área
. Isso é dado pelo produto vetorial dos vetores parciais da parametrização em relação a
e
. Calculando:
O produto vetorial
resulta em:
A magnitude desse vetor é
, então:
Passo 5
Agora substituímos as variáveis na função que vamos integrar. Como
e
, a função
fica:
Então, a integral de superfície fica:
Passo 6
Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em
:
Agora, a integral em
:
Isso porque
.
Resposta
Multiplicando todos os fatores, temos:
Portanto, a integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Determine o fluxo de
através de S.
a) ,
é a superfície da caixa delimitada pelos planos
e
.
a)
Use o Teorema de Stokes para calcular
.
b) é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices
, com orientação para fora. 0.
b)
[2.0 pt ] Use seus conhecimentos de integral de superfície e calcule a área da superfície do cone
que está entre o plano
e plano
.
Resolva as equações: