Determine o fluxo de F através de S.
a) F(x, y, z) = (e^x sen(y), e^x cos(y), y z^2), S é a superfície da caixa delimitada pelos planos x=0, x= 1, y=0, y=1, z=0 e z = 2.2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície S. Essa superfície é a caixa limitada pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2.2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial para calcular fluxos através de superfícies fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V limitado por S. Matematicamente:
Onde:
  • n é o vetor normal à superfície.
  • é a divergência de F.
Vamos aplicar isso para simplificar nosso cálculo.

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência:
Nosso próximo passo é calcular essa integral tripla sobre o volume V da caixa definida por 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, e .

Passo 5

Vamos configurar a integral tripla:
Vamos resolver a integral de dentro para fora.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a z:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a y:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a x:

Resposta

O fluxo de F através da superfície S é 2.42 unidades de fluxo.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot d S.
b) F(x, y, z)=x y z i+x y j+x^2 y z k, S é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1), com orientação para fora. 0.
Calcule a integral:
(l) integral x ln (1+x) d x
[2.0 pt ] Calcule a integral de superfície integral duplaS y^2 z^2 d S onde S é a parte do cone z=raizx^2+y^2 compreendida pelos planos z=1 e z=2.
[2.0 pt ] Use seus conhecimentos de integral de superfície e calcule a área da superfície do cone
z = h/a * raiz(x^2 + y^2) (a, h > 0)
que está entre o plano x y e plano z = h.