Determine o fluxo de
através de S.
a)
,
é a superfície da caixa delimitada pelos planos
e
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Essa superfície é a caixa limitada pelos planos
,
,
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial para calcular fluxos através de superfícies fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente:
Onde:
-
é o vetor normal à superfície. -
é a divergência de .
Vamos aplicar isso para simplificar nosso cálculo.
Passo 3
Primeiro, precisamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência:
Nosso próximo passo é calcular essa integral tripla sobre o volume
da caixa definida por
,
, e
.
Passo 5
Vamos configurar a integral tripla:
Vamos resolver a integral de dentro para fora.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a
:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é 2.42 unidades de fluxo.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
.
b) é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices
, com orientação para fora. 0.
b)
Calcule a integral:
[2.0 pt ] Calcule a integral de superfície
onde
é a parte do cone
compreendida pelos planos
e
.
[2.0 pt ] Use seus conhecimentos de integral de superfície e calcule a área da superfície do cone
que está entre o plano
e plano
.