Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot d S.
b) F(x, y, z)=x y z i+x y j+x^2 y z k, S é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1), com orientação para fora. 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície integral duplaS rot F cdot d S usando o Teorema de Stokes. A função vetorial dada é F(x, y, z) = x y z i + x y j + x^2 y z k, e a superfície S é formada pelo topo e pelas quatro laterais de um cubo com vértices em (pm 1, pm 1, pm1), orientada para fora. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional de F e aplicar o Teorema de Stokes de forma apropriada.

Passo 2

O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha do campo ao longo da borda da superfície. Matematicamente, é dado por:
integral duplaS rot F cdot d S = ointpartial S F cdot d r
Então, para usar o Teorema de Stokes, precisamos identificar a borda partial S da superfície S.

Passo 3

A superfície S é composta pelo topo e pelas quatro laterais do cubo. A borda partial S seria a interseção dessas superfícies. No caso de um cubo fechado, a borda seria o contorno que fecha a superfície. Mas como estamos excluindo o fundo, a borda partial S será apenas o contorno superior do cubo.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o rotacional de F. O rotacional de um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k é dado por:
rot F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  • Fx = x y z
  • Fy = x y
  • Fz = x^2 y z
Calculando as derivadas parciais:
  • partial Fzpartial y = x^2 z
  • partial Fypartial z = 0
  • partial Fxpartial z = x y
  • partial Fzpartial x = 2x y z
  • partial Fypartial x = y
  • partial Fxpartial y = x z
Então,
rot F = (x^2 z - 0) i + (x y - 2x y z) j + (y - x z) k
Simplificando:
rot F = x^2 z i + x y (1 - 2 z) j + (y - x z) k

Passo 5

Agora, precisamos parametrizar a borda partial S, que é o contorno superior do cubo. No topo do cubo, z = 1, e o contorno é um quadrado com vértices em (1,1,1), (-1,1,1), (-1,-1,1) e (1,-1,1). Podemos percorrer esse contorno em sentido anti-horário para manter a orientação positiva (para fora).
Vamos dividir a integral de linha em quatro segmentos:
  1. De (1,1,1) a (-1,1,1)
  2. De (-1,1,1) a (-1,-1,1)
  3. De (-1,-1,1) a (1,-1,1)
  4. De (1,-1,1) a (1,1,1)

Passo 6

Vamos calcular a integral de linha ointpartial S F cdot d r somando as integrais em cada segmento.
Segmento 1: De (1,1,1) a (-1,1,1)
Aqui, y=1, z=1, e x varia de 1 a -1. Podemos parametrizar:
r(t) = (t, 1, 1), t de 1 a -1
Então,
dr = (dt, 0, 0)
O campo F nesse segmento é:
F = t cdot 1 cdot 1 i + t cdot 1 j + t^2 cdot 1 cdot 1 k = t i + t j + t^2 k
Dot product:
F cdot dr = t cdot dt + t cdot 0 + t^2 cdot 0 = t dt
Integral deste segmento:
integral1^-1 t dt = [ t^22 ]1^-1 = (-1)^22 - 1^22 = 12 - 12 = 0
Segmento 2: De (-1,1,1) a (-1,-1,1)
Aqui, x=-1, z=1, e y varia de 1 a -1. Parametrização:
r(t) = (-1, t, 1), t de 1 a -1
Então,
dr = (0, dt, 0)
Campo F:
F = (-1) cdot t cdot 1 i + (-1) cdot t j + (-1)^2 cdot t cdot 1 k = -t i - t j + t k
Dot product:
F cdot dr = (-t) cdot 0 + (-t) cdot dt + t cdot 0 = -t dt
Integral deste segmento:
integral1^-1 -t dt = -[ t^22 ]1^-1 = -( 12 - 12 ) = 0
Segmento 3: De (-1,-1,1) a (1,-1,1)
Aqui, y=-1, z=1, e x varia de -1 a 1. Parametrização:
r(t) = (t, -1, 1), t de -1 a 1
Então,
dr = (dt, 0, 0)
Campo F:
F = t cdot (-1) cdot 1 i + t cdot (-1) j + t^2 cdot (-1) cdot 1 k = -t i - t j - t^2 k
Dot product:
F cdot dr = (-t) cdot dt + (-t) cdot 0 + (-t^2) cdot 0 = -t dt
Integral deste segmento:
integral-1^1 -t dt = -[ t^22 ]-1^1 = -( 12 - 12 ) = 0
Segmento 4: De (1,-1,1) a (1,1,1)
Aqui, x=1, z=1, e y varia de -1 a 1. Parametrização:
r(t) = (1, t, 1), t de -1 a 1
Então,
dr = (0, dt, 0)
Campo F:
F = 1 cdot t cdot 1 i + 1 cdot t j + 1^2 cdot t cdot 1 k = t i + t j + t k
Dot product:
F cdot dr = t cdot 0 + t cdot dt + t cdot 0 = t dt
Integral deste segmento:
integral-1^1 t dt = [ t^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0

Passo 7

Somando as integrais de todos os segmentos:
0 + 0 + 0 + 0 = 0
Portanto,
integral duplaS rot F cdot d S = 0

Resposta

A integral de superfície integral duplaS rot F cdot d S é igual a 0.

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