Use o Teorema de Stokes para calcular
.
b)
é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices
, com orientação para fora. 0.
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície
usando o Teorema de Stokes. A função vetorial dada é
, e a superfície
é formada pelo topo e pelas quatro laterais de um cubo com vértices em
, orientada para fora. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional de
e aplicar o Teorema de Stokes de forma apropriada.
Passo 2
O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha do campo ao longo da borda da superfície. Matematicamente, é dado por:
Então, para usar o Teorema de Stokes, precisamos identificar a borda
da superfície
.
Passo 3
A superfície
é composta pelo topo e pelas quatro laterais do cubo. A borda
seria a interseção dessas superfícies. No caso de um cubo fechado, a borda seria o contorno que fecha a superfície. Mas como estamos excluindo o fundo, a borda
será apenas o contorno superior do cubo.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos parametrizar a borda
, que é o contorno superior do cubo. No topo do cubo,
, e o contorno é um quadrado com vértices em
,
,
e
. Podemos percorrer esse contorno em sentido anti-horário para manter a orientação positiva (para fora).
Vamos dividir a integral de linha em quatro segmentos:
- De
a - De
a - De
a - De
a
Passo 6
Vamos calcular a integral de linha
somando as integrais em cada segmento.
Segmento 1: De
a
Aqui,
,
, e
varia de
a
. Podemos parametrizar:
Então,
O campo
nesse segmento é:
Dot product:
Integral deste segmento:
Segmento 2: De
a
Aqui,
,
, e
varia de
a
. Parametrização:
Então,
Campo
:
Dot product:
Integral deste segmento:
Segmento 3: De
a
Aqui,
,
, e
varia de
a
. Parametrização:
Então,
Campo
:
Dot product:
Integral deste segmento:
Segmento 4: De
a
Aqui,
,
, e
varia de
a
. Parametrização:
Então,
Campo
:
Dot product:
Integral deste segmento:
Passo 7
Somando as integrais de todos os segmentos:
Portanto,
Resposta
A integral de superfície
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule a integral:
Resolva as equações exponenciais:
f)
f)
Determine o fluxo de
através de S.
a) ,
é a superfície da caixa delimitada pelos planos
e
.
a)
[2.0 pt ] Calcule a integral de superfície
onde
é a parte do cone
compreendida pelos planos
e
.