[2.0 pt ] Use seus conhecimentos de integral de superfície e calcule a área da superfície do cone
z = h/a * raiz(x^2 + y^2) (a, h > 0)
que está entre o plano x y e plano z = h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área da superfície de um cone dado pela equação , onde e são positivos. A área que queremos é aquela que está entre o plano (ou seja, ) e o plano . Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de integrais de superfície. Precisamos entender como parametrizar o cone e calcular a integral que representa a área dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as coisas usando coordenadas polares (cilíndricas), que são ótimas para simetria radial como a do nosso cone. Nessa mudança, a gente tem:
Como nosso cone é dado por , podemos usar essa relação para expressar tudo em termos de e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para o elemento de área na superfície do cone. Em coordenadas polares, o elemento de área para uma superfície parametrizada por e é dado por:
Mas já que , temos:
Então, a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para a área total :
Note que o limite superior de foi encontrado resolvendo na equação do cone:
Então, a integral fica:
Integrando primeiro em :
E depois em :

Passo 5

Multiplicando tudo:
Simplificando:

Resposta

A área da superfície do cone é .

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[2.0 pt ] Calcule a integral de superfície integral duplaS y^2 z^2 d S onde S é a parte do cone z=raizx^2+y^2 compreendida pelos planos z=1 e z=2.
Determine o fluxo de F através de S.
a) F(x, y, z) = (e^x sen(y), e^x cos(y), y z^2), S é a superfície da caixa delimitada pelos planos x=0, x= 1, y=0, y=1, z=0 e z = 2.2.
Resolva as equações: d^2y/dx^2 + dy/dx - 6y = x e^(2x)
Resolva as seguintes desigualdades:
f) arcsen x < arccos x