[2.0 pt ] Use seus conhecimentos de integral de superfície e calcule a área da superfície do cone
que está entre o plano
e plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área da superfície de um cone dado pela equação
, onde
e
são positivos. A área que queremos é aquela que está entre o plano
(ou seja,
) e o plano
. Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de integrais de superfície. Precisamos entender como parametrizar o cone e calcular a integral que representa a área dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as coisas usando coordenadas polares (cilíndricas), que são ótimas para simetria radial como a do nosso cone. Nessa mudança, a gente tem:
Como nosso cone é dado por
, podemos usar essa relação para expressar tudo em termos de
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para o elemento de área
na superfície do cone. Em coordenadas polares, o elemento de área para uma superfície parametrizada por
e
é dado por:
Mas já que
, temos:
Então, a expressão simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral para a área total
:
Note que o limite superior de
foi encontrado resolvendo
na equação do cone:
Então, a integral fica:
Integrando primeiro em
:
E depois em
:
Passo 5
Multiplicando tudo:
Simplificando:
Resposta
A área da superfície do cone é
.
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[2.0 pt ] Calcule a integral de superfície
onde
é a parte do cone
compreendida pelos planos
e
.
Determine o fluxo de
através de S.
a) ,
é a superfície da caixa delimitada pelos planos
e
.
a)
Resolva as equações:
Resolva as seguintes desigualdades:
f)
f)