[2 pontos] Considere o seguinte P.V.I
Determine os valores de
para os quais as soluções
a) tendem a
;
b) fiquem limitadas;
c) tendem a
.
a) tendem a
b) fiquem limitadas;
c) tendem a
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (P.V.I) com uma equação diferencial:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear da forma:
Onde
e
.
Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que é uma integral padrão. O resultado é:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Simplificando:
Então, a solução específica fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento da solução quando
tende ao infinito:
- A parte
é uma função periódica limitada. - A parte
depende do valor de : - Se
, essa parte vai para . - Se
, essa parte é zero e a solução fica limitada. - Se
, essa parte vai para .
- Se
Resolvendo para
:
-
implica -
implica -
implica
Resposta
a) Para
, as soluções tendem a
;
b) Para
, as soluções ficam limitadas;
c) Para
, as soluções tendem a
.