[2 pontos] Considere o seguinte P.V.I
y' - 1/2 y = cos(t) ; y(0) = a
Determine os valores de a para os quais as soluções
a) tendem a +infinito;
b) fiquem limitadas;
c) tendem a -infinito.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (P.V.I) com uma equação diferencial:
y' - 1/2 y = cos(t) ; y(0) = a
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear da forma:
Onde e .
Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que é uma integral padrão. O resultado é:

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Simplificando:
Então, a solução específica fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da solução quando tende ao infinito:
  • A parte é uma função periódica limitada.
  • A parte depende do valor de :
    • Se , essa parte vai para .
    • Se , essa parte é zero e a solução fica limitada.
    • Se , essa parte vai para .
Resolvendo para :
  • implica
  • implica
  • implica

Resposta

a) Para , as soluções tendem a ;
b) Para , as soluções ficam limitadas;
c) Para , as soluções tendem a .

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