Alunos estão espalhando um boato de que a professora Gisele gosta de chocolate. Um modelo para a propagação desse boato é que a taxa de propagação é proporcional a fração da população que ouviu o boato. Inicialmente, 100 alunos tinham ouvido o boato. Em 3 horas, 800 alunos tinham ouvido o boato. Se a Unifei tem 6400 alunos, em quantas horas todos os alunos saberão sobre o boato?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um boato que está se espalhando entre os alunos da Unifei. Inicialmente, 100 alunos ouviram o boato, e após 3 horas, esse número cresceu para 800 alunos. Sabemos que a taxa de propagação do boato é proporcional à fração da população que já ouviu. O total de alunos na Unifei é 6400. Queremos descobrir em quantas horas todos os alunos terão ouvido o boato.

Passo 2

Vamos começar entendendo a proporcionalidade da taxa de propagação. Se a taxa de propagação é proporcional à fração da população que ouviu o boato, podemos representar isso matematicamente como:
onde:
  • é o número de alunos que ouviram o boato,
  • é a taxa de propagação,
  • é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Essa equação é uma equação diferencial que descreve um crescimento exponencial. A solução geral dessa equação é:
onde é o valor inicial de .

Passo 4

Vamos usar os dados fornecidos para encontrar o valor de . Sabemos que inicialmente alunos, e que após 3 horas, . Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por 100:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para :

Passo 5

Agora que temos , podemos usar a equação geral para encontrar o tempo necessário para que todos os 6400 alunos ouçam o boato. Queremos que :
Dividindo ambos os lados por 100:
Aplicando o logaritmo natural novamente:
Substituindo pela expressão encontrada:
Resolvendo para :

Passo 6

Simplificando os logaritmos:
Substituindo de volta:

Resposta

Todos os 6400 alunos saberão sobre o boato em 6 horas.

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