Considere o problema de valor inicial
Suponha que
. Encontre o instante
no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98 .
Suponha que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado por:
O conteúdo envolvido aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis:
Vamos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Começando com o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, usamos frações parciais. Podemos decompor
da seguinte maneira:
Resolvendo para
e
, encontramos
e
. Então:
Passo 4
Integrando o lado direito:
Agora, igualamos as integrais:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação geral:
Queremos encontrar o instante
onde
. Substituindo:
Passo 7
Resolvendo para
:
Calculando os logaritmos:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 6 para isolar
:
Calculando:
Resposta
O instante
no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98 é aproximadamente 3,3 unidades de tempo.
Exercícios relacionados
[2 pontos] Considere o seguinte P.V.I
Determine os valores de
para os quais as soluções
a) tendem a ;
b) fiquem limitadas;
c) tendem a .
a) tendem a
b) fiquem limitadas;
c) tendem a
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. Esboce o sólido.
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