Considere o problema de valor inicial { y' = t * y * (4 - y) / 3 , y(0) = y0 }
Suponha que y0 = 0.5. Encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98 .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado por:
O conteúdo envolvido aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis:
Vamos separar os termos que envolvem dos que envolvem :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Começando com o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, usamos frações parciais. Podemos decompor da seguinte maneira:
Resolvendo para e , encontramos e . Então:

Passo 4

Integrando o lado direito:
Agora, igualamos as integrais:

Passo 5

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Passo 6

Agora, substituímos na equação geral:
Queremos encontrar o instante onde . Substituindo:

Passo 7

Resolvendo para :
Calculando os logaritmos:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 6 para isolar :
Calculando:

Resposta

O instante no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98 é aproximadamente 3,3 unidades de tempo.

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