Determine o volume do sólido que está abaixo da esfera x^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 9 e acima do cone z = raiz(x^2 + y^2). Esboce o sólido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos o volume de um sólido que está abaixo da esfera dada por e acima do cone . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas e calcular uma integral tripla que representa esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as formas geométricas envolvidas. A esfera tem centro no ponto e raio 3. Isso significa que a esfera se estende de até .
Já o cone pode ser reescrito em coordenadas cilíndricas como , onde é a distância radial no plano .

Passo 3

Vamos encontrar o ponto de interseção entre a esfera e o cone. Substituindo na equação da esfera:
Como , temos:
Expandindo e simplificando:
Portanto, a interseção ocorre quando e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Usaremos coordenadas cilíndricas, onde o elemento de volume é .
Os limites de integração serão:
  • varia de a (círculo completo).
  • varia de a (até o ponto de interseção).
  • varia de (cono) até (esfera).

Passo 5

Escrevendo a integral tripla:
Primeiro, vamos integrar em relação a :

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
Integrando em :

Passo 7

Vamos calcular cada termo da integral separadamente:
  1. Fazendo a substituição , :

Passo 8

Somando os resultados:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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