Determine o volume do sólido que está abaixo da esfera e acima do cone . Esboce o sólido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos o volume de um sólido que está abaixo da esfera dada por e acima do cone . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas e calcular uma integral tripla que representa esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as formas geométricas envolvidas. A esfera tem centro no ponto e raio 3. Isso significa que a esfera se estende de até .
Já o cone pode ser reescrito em coordenadas cilíndricas como , onde é a distância radial no plano .
Passo 3
Vamos encontrar o ponto de interseção entre a esfera e o cone. Substituindo na equação da esfera:
Como , temos:
Expandindo e simplificando:
Portanto, a interseção ocorre quando e .
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Usaremos coordenadas cilíndricas, onde o elemento de volume é .
Os limites de integração serão:
varia de a (círculo completo).
varia de a (até o ponto de interseção).
varia de (cono) até (esfera).
Passo 5
Escrevendo a integral tripla:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Integrando em :
Passo 7
Vamos calcular cada termo da integral separadamente: