[2.5 pontos] Uma empresa usa três linhas de montagem diferentes, a saber: E1, E2, e E3, para fabricar um determinado componente. Daqueles fabricado pela linha E1, 3 % precisam de retrabalho para remediar um defeito, enquanto 5 % dos componentes de E2 precisam de retrabalho e 12 % dos E3 precisam de retrabalho. Suponha que 60 % de todos os componentes sejam produzidos pela linha E1, 30 % sejam produzidos pela linha E2 e 10 % vêm da linha E3. Se um componente, selecionado aleatoriamente, precisa ser retrabalhado, qual é a probabilidade de que veio da linha E1 ? Da linha E2 ? Da linha E3 ?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade condicional usando o Teorema de Bayes. Temos três linhas de montagem ( E1, E2, E3) com diferentes taxas de retrabalho e diferentes proporções de produção. Queremos descobrir a probabilidade de que, se um componente precisar de retrabalho, ele veio de uma das três linhas específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • : O componente veio da linha .
  • : O componente veio da linha .
  • : O componente veio da linha .
  • : O componente precisa de retrabalho.

Passo 3

As probabilidades de cada linha produzir um componente são:

Passo 4

As probabilidades de retrabalho para cada linha são:

Passo 5

Queremos encontrar P(Ei|R) = P(R|Ei) cdot P(Ei)P(R) para , ou seja, a probabilidade de o componente ter vindo de dado que ele precisa de retrabalho. Para isso, usamos o Teorema de Bayes:

Passo 6

Primeiro, precisamos calcular P(R) = P(R|E1) cdot P(E1) + P(R|E2) cdot P(E2) + P(R|E3) cdot P(E3) , a probabilidade total de um componente precisar de retrabalho. Usamos a Regra da Probabilidade Total:
P(R) = (0,03 times 0,60) + (0,05 times 0,30) + (0,12 times 0,10) = 0,018 + 0,015 + 0,012 = 0,045
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para cada linha:
Para P(E1|R) = 0,03 times 0,600,045 = 0,0180,045 = 0,40 ou 40% :
P(E2|R) = 0,05 times 0,300,045 = 0,0150,045 = 0,3333 ou 33,33%
Para P(E3|R) = 0,12 times 0,100,045 = 0,0120,045 = 0,2667 ou 26,67% :
Para :

Resposta

A probabilidade de que um componente que precisa de retrabalho veio de:
  • é 40%,
  • é 33,33%,
  • é 26,67%.

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