[2.5 pontos] Uma empresa usa três linhas de montagem diferentes, a saber: , e , para fabricar um determinado componente. Daqueles fabricado pela linha precisam de retrabalho para remediar um defeito, enquanto dos componentes de precisam de retrabalho e dos precisam de retrabalho. Suponha que de todos os componentes sejam produzidos pela linha sejam produzidos pela linha e vêm da linha . Se um componente, selecionado aleatoriamente, precisa ser retrabalhado, qual é a probabilidade de que veio da linha ? Da linha ? Da linha ?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade condicional usando o Teorema de Bayes. Temos três linhas de montagem ( , , ) com diferentes taxas de retrabalho e diferentes proporções de produção. Queremos descobrir a probabilidade de que, se um componente precisar de retrabalho, ele veio de uma das três linhas específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • : O componente veio da linha .
  • : O componente veio da linha .
  • : O componente veio da linha .
  • : O componente precisa de retrabalho.

Passo 3

As probabilidades de cada linha produzir um componente são:

Passo 4

As probabilidades de retrabalho para cada linha são:

Passo 5

Queremos encontrar para , ou seja, a probabilidade de o componente ter vindo de dado que ele precisa de retrabalho. Para isso, usamos o Teorema de Bayes:

Passo 6

Primeiro, precisamos calcular , a probabilidade total de um componente precisar de retrabalho. Usamos a Regra da Probabilidade Total:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para cada linha:
Para :
Para :
Para :

Resposta

A probabilidade de que um componente que precisa de retrabalho veio de:
  • é 40%,
  • é 33,33%,
  • é 26,67%.

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