Mostre que as medidas de tendência central se comportam bem quanto às translações e dilatações (ou contrações) dos dados. Mais precisamente, dada uma constante não nula ; se a partir de um conjunto de dados ; definirmos os conjuntos de dados então

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de estatística, mais especificamente sobre medidas de tendência central. Você vai ver como a média e outras medidas se comportam quando a gente faz transformações nos dados, como adicionar uma constante ou multiplicar por uma constante. O que precisamos para resolver isso são as definições das medidas de tendência central e entender como elas reagem a translações (adições/subtrações) e dilatações (multiplicações/divisões).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a média ( ). A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Se a gente tem um conjunto de dados , a média é:
Agora, vamos definir nossos novos conjuntos de dados:
  • (translação: adicionando uma constante a cada dado)
  • (dilatação: multiplicando cada dado por uma constante )

Passo 3

Vamos calcular a média de ( ):
Então, a média após adicionar é a média original mais .

Passo 4

Agora, vamos calcular a média de ( ):
Então, a média após multiplicar por é a média original multiplicada por .

Passo 5

Vamos falar do mediana, que é o valor central quando os dados estão ordenados. Se a gente adiciona uma constante a todos os dados, a mediana também aumenta porque todos os valores estão deslocados igualmente. Então:
E se a gente multiplica todos os dados por , a mediana é multiplicada por :

Passo 6

Finalmente, vamos considerar os valores atípicos ( ). Se a gente adiciona , todos os valores atípicos também são deslocados por :
E se a gente multiplica por , os valores atípicos são multiplicados por :

Resposta

Mostramos que, ao adicionar uma constante aos dados, a média e a mediana aumentam , e ao multiplicar os dados por , a média e a mediana são multiplicadas por . Formalmente:

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Classes
4
9
11
8
5
3
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