Mostre que as medidas de tendência central se comportam bem quanto às translações e dilatações (ou contrações) dos dados. Mais precisamente, dada uma constante não nula
; se a partir de um conjunto de dados
; definirmos os conjuntos de dados
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de estatística, mais especificamente sobre medidas de tendência central. Você vai ver como a média e outras medidas se comportam quando a gente faz transformações nos dados, como adicionar uma constante ou multiplicar por uma constante. O que precisamos para resolver isso são as definições das medidas de tendência central e entender como elas reagem a translações (adições/subtrações) e dilatações (multiplicações/divisões).
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a média (
). A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Se a gente tem um conjunto de dados
, a média é:
Agora, vamos definir nossos novos conjuntos de dados:
-
(translação: adicionando uma constante a cada dado) -
(dilatação: multiplicando cada dado por uma constante )
Passo 3
Vamos calcular a média de
(
):
Então, a média após adicionar
é a média original mais
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a média de
(
):
Então, a média após multiplicar por
é a média original multiplicada por
.
Passo 5
Vamos falar do mediana, que é o valor central quando os dados estão ordenados. Se a gente adiciona uma constante
a todos os dados, a mediana também aumenta
porque todos os valores estão deslocados igualmente. Então:
E se a gente multiplica todos os dados por
, a mediana é multiplicada por
:
Passo 6
Finalmente, vamos considerar os valores atípicos (
). Se a gente adiciona
, todos os valores atípicos também são deslocados por
:
E se a gente multiplica por
, os valores atípicos são multiplicados por
:
Resposta
Mostramos que, ao adicionar uma constante
aos dados, a média e a mediana aumentam
, e ao multiplicar os dados por
, a média e a mediana são multiplicadas por
. Formalmente:
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Classes |
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4 |
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9 |
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11 |
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8 |
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5 |
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3 |
Tabela 1 - Tabela de frequências para os dados das estaturas