Mostre que as medidas de tendência central se comportam bem quanto às translações e dilatações (ou contrações) dos dados. Mais precisamente, dada uma constante não nula k; se a partir de um conjunto de dados xi; definirmos os conjuntos de dados yi=xi+k e zi=k xi então bary=barx+k ; Q2, y=Q2, x+ k ; y^*=x^*+k e barz=k barx ; Q2, y=k Q2, x ; barz=k barx:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de estatística, mais especificamente sobre medidas de tendência central. Você vai ver como a média e outras medidas se comportam quando a gente faz transformações nos dados, como adicionar uma constante ou multiplicar por uma constante. O que precisamos para resolver isso são as definições das medidas de tendência central e entender como elas reagem a translações (adições/subtrações) e dilatações (multiplicações/divisões).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a média ( barx). A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Se a gente tem um conjunto de dados xi, a média é:
barx = 1n sumi=1^n xi
Agora, vamos definir nossos novos conjuntos de dados:
  • yi = xi + k (translação: adicionando uma constante k a cada dado)
  • zi = k xi (dilatação: multiplicando cada dado por uma constante k)

Passo 3

Vamos calcular a média de yi ( bary):
bary = 1n sumi=1^n yi = 1n sumi=1^n (xi + k) = 1n sumi=1^n xi + 1n sumi=1^n k = barx + k
Então, a média após adicionar k é a média original mais k.

Passo 4

Agora, vamos calcular a média de zi ( barz):
barz = 1n sumi=1^n zi = 1n sumi=1^n (k xi) = k cdot 1n sumi=1^n xi = k barx
Então, a média após multiplicar por k é a média original multiplicada por k.

Passo 5

Vamos falar do mediana, que é o valor central quando os dados estão ordenados. Se a gente adiciona uma constante k a todos os dados, a mediana também aumenta k porque todos os valores estão deslocados igualmente. Então:
Q2, y = Q2, x + k
E se a gente multiplica todos os dados por k, a mediana é multiplicada por k:
Q2, z = k Q2, x

Passo 6

Finalmente, vamos considerar os valores atípicos ( y^*). Se a gente adiciona k, todos os valores atípicos também são deslocados por k:
y^* = x^* + k
E se a gente multiplica por k, os valores atípicos são multiplicados por k:
z^* = k x^*

Resposta

Mostramos que, ao adicionar uma constante k aos dados, a média e a mediana aumentam k, e ao multiplicar os dados por k, a média e a mediana são multiplicadas por k. Formalmente:
  • bary = barx + k
  • Q2, y = Q2, x + k
  • y^* = x^* + k
  • barz = k barx
  • Q2, z = k Q2, x
  • z^* = k x^*

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