[2 Pontos] Se Q=[-1,1] times[0, pi / 2], calcular
integral duplaQ(x sin y-y e^x) d x d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma região e precisamos calcular a integral dupla de sobre essa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas.

Passo 2

Vamos começar separando a integral em duas partes:
integral duplaQ ( x sin y - y e^x ) dx dy = integral duplaQ x sin y , dx dy - integral duplaQ y e^x , dx dy

Passo 3

Primeiro, calculamos a primeira integral:
integral duplaQ x sin y , dx dy = integral0^pi2 sin y ( integral-1^1 x , dx ) dy
A integral interna é igual a zero, já que a função é ímpar e o intervalo é simétrico.

Passo 4

Portanto, a primeira parte da integral é:
integral duplaQ x sin y , dx dy = 0

Passo 5

Agora, calculamos a segunda integral:
integral duplaQ y e^x , dx dy = integral0^pi2 y ( integral-1^1 e^x , dx ) dy
A integral interna é igual a .

Passo 6

Substituindo esse resultado na integral externa, temos:
integral duplaQ y e^x , dx dy = ( e - 1e ) integral0^pi2 y , dy

Passo 7

Calculamos a integral integral0^pi2 y , dy = [ y^22 ]0^pi2 = pi^28 :

Passo 8

Agora, combinando tudo, obtemos:
integral duplaQ y e^x , dx dy = ( e - 1e ) cdot pi^28

Resposta

Portanto, a integral dupla é:
integral duplaQ ( x sin y - y e^x ) dx dy = -( e - 1e ) cdot pi^28

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