[2 Pontos] Calcular
em que
é o sólido formado pela folha superior do cone
e o plano
.
Passo 1
Então, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a integral tripla
. Aqui,
é o sólido formado pela parte superior do cone definido por
e pelo plano
. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas cilíndricas, porque o integrando
sugere que essas coordenadas simplificam a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. O cone
pode ser reescrito como
para a parte superior. O plano
corta esse cone, formando uma superfície fechada. Para visualizar, imagine um cone que se estende para cima até o plano horizontal
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Nesse sistema,
, o que simplifica o integrando. Além disso, o elemento de volume
se transforma em
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
varia de a para cobrir todo o círculo. -
varia de até onde o cone encontra o plano . No cone , então quando , . -
varia do cone até o plano, ou seja, de até .
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla no sistema cilíndrico:
Aqui, multiplicamos dois
porque o integrando original
e o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é também multiplicado por
.
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.