[2 Pontos] Calcular
integral triplaS raizx^2+y^2 d x d y d z
em que S é o sólido formado pela folha superior do cone z^2=x^2+y^2 e o plano z=1.

Passo 1

Então, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a integral tripla . Aqui, é o sólido formado pela parte superior do cone definido por e pelo plano . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas cilíndricas, porque o integrando sugere que essas coordenadas simplificam a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . O cone pode ser reescrito como para a parte superior. O plano corta esse cone, formando uma superfície fechada. Para visualizar, imagine um cone que se estende para cima até o plano horizontal .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , e . Nesse sistema, , o que simplifica o integrando. Além disso, o elemento de volume se transforma em .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a para cobrir todo o círculo.
  • varia de até onde o cone encontra o plano . No cone , então quando , .
  • varia do cone até o plano, ou seja, de até .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla no sistema cilíndrico:
integral triplaS r cdot r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 integralr^1 r^2 , dz , dr , dtheta
Aqui, multiplicamos dois porque o integrando original e o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é também multiplicado por .

Passo 6

Vamos integrar em relação a integralr^1 r^2 , dz = r^2 (1 - r) primeiro:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^1 r^2 (1 - r) , dr = integral0^1 (r^2 - r^3) , dr = [ r^33 - r^44 ]0^1 = 13 - 14 = 112 :

Passo 8

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi 112 , dtheta = 112 cdot 2pi = pi6 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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