Considere as funções: f: N -> Z, dada por f(n)=3*n+1; g: R -> R, dada por g(x) = x - |(x + 2)² - 1|; h:[0,infinito) -> R, dada por h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x). Determine as seguintes pré-imagens: f^{-1}({2 k: k in N})

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida por . O objetivo é encontrar todas as entradas que, ao passarem por essa função, dão como saída um número par. Ou seja, estamos procurando as pré-imagens de números pares. Para isso, vamos usar conceitos de funções e propriedades dos números pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que seja um número par. Um número é par quando é múltiplo de 2, ou seja, pode ser escrito como , onde é um número natural.
Então, queremos que:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 3:
Para ser um número natural, o lado direito da equação deve resultar em um número inteiro. Isso significa que deve ser divisível por 3.

Passo 3

Vamos analisar a expressão . Queremos que seja múltiplo de 3. Ou seja:
Resolvendo isso:
Multiplicando ambos os lados por 2 (o inverso de 2 módulo 3):
Isso significa que pode ser escrito como:
Substituindo de volta na expressão para :
Portanto, , onde é um número natural.

Passo 4

A expressão mostra que é um número ímpar, já que é duas vezes um número mais 1. Portanto, todas as pré-imagens que levam a números pares na função são exatamente os números ímpares naturais.

Resposta

A pré-imagem é o conjunto de todos os números naturais ímpares. Em outras palavras:
éí

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