[2 Pontos] Calcular a integral dupla
sobre o disco
. Determinar os valores de
para os quais
tende para um limite quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre um disco e descobrir para quais valores de
essa integral tem um limite quando o raio
do disco vai para o infinito. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas e mudança para coordenadas polares. Vamos precisar lembrar como transformar integrais duplas para coordenadas polares e analisar o comportamento da função quando
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Onde
é o disco definido por
. Para facilitar a resolução, vamos mudar essa integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
vira
.
Passo 3
Fazendo a mudança para coordenadas polares, a integral fica:
Primeiro, vamos integrar em relação a
. Como a função não depende de
, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento dessa integral quando
tende ao infinito. Para isso, precisamos entender quando a integral
converge. Para isso, observamos o comportamento do integrando para valores grandes de
.
Passo 5
Quando
é muito grande,
se torna desprezível em relação a
, então a expressão
se aproxima de
. Assim, para
grande, o integrando se comporta como:
Passo 6
Para que a integral
converja, precisamos que a potência de
seja menor que -1. Ou seja:
Passo 7
Portanto, a integral
tende a um limite finito quando
. Para valores de
menores ou iguais a 1, a integral não converge quando
vai para infinito.
Resposta
A integral
tende para um limite finito quando
.