[2 Pontos] Calcular a integral dupla
I(p, r)=integral duplaD d x d y(p^2+x^2+y^2)^p
sobre o disco D=(x, y): x^2+y^2 <= r^2. Determinar os valores de p para os quais I(p, r) tende para um limite quando r +infty.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre um disco e descobrir para quais valores de essa integral tem um limite quando o raio do disco vai para o infinito. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas e mudança para coordenadas polares. Vamos precisar lembrar como transformar integrais duplas para coordenadas polares e analisar o comportamento da função quando aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
I(p, r) = integral duplaD dx, dy(p^2 + x^2 + y^2)^p
Onde é o disco definido por . Para facilitar a resolução, vamos mudar essa integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , e o elemento de área vira .

Passo 3

Fazendo a mudança para coordenadas polares, a integral fica:
I(p, r) = integral0^2pi integral0^r rho, drho, dtheta(p^2 + rho^2)^p
Primeiro, vamos integrar em relação a I(p, r) = 2pi integral0^r rho, drho(p^2 + rho^2)^p . Como a função não depende de , a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dessa integral quando integral0^infty rho, drho(p^2 + rho^2)^p tende ao infinito. Para isso, precisamos entender quando a integral
converge. Para isso, observamos o comportamento do integrando para valores grandes de .

Passo 5

Quando rhorho^2p = rho^1 - 2p é muito grande, se torna desprezível em relação a , então a expressão se aproxima de . Assim, para grande, o integrando se comporta como:

Passo 6

Para que a integral
integralA^infty rho^1 - 2p, drho
converja, precisamos que a potência de 1 - 2p < -1 implies 2p > 2 implies p > 1 seja menor que -1. Ou seja:

Passo 7

Portanto, a integral tende a um limite finito quando . Para valores de menores ou iguais a 1, a integral não converge quando vai para infinito.

Resposta

A integral tende para um limite finito quando .

Exercícios relacionados