[2,0 P] Questão 05 - Calcule a velocidade das ondas sonoras no ar nas temperaturas T=293,15 K e T =308,15 K e encontre o intervalo de comprimentos de onda no ar em que o ouvido humano (que consegue escutar frequências entre 20 Hz até cerca de 20.000 Hz ) é sensível. A massa molar média do ar (uma mistura principalmente de nitrogênio e oxigênio) é M=28,8 times 10^-3 kg / mol, a razão das capacidades caloríficas é gamma= 1,40 e a constante dos gases é R=8,314 J /(mol K).

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pede para calcular a velocidade das ondas sonoras no ar em duas temperaturas diferentes: 293,15 K e 308,15 K. Além disso, temos que descobrir qual é o intervalo de comprimentos de onda que o ouvido humano consegue perceber, ou seja, entre 20 Hz e 20.000 Hz. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física das ondas sonoras, como a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda, além das propriedades do ar fornecidas, como a massa molar média, a razão das capacidades caloríficas e a constante dos gases.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do som no ar para cada temperatura dada. A velocidade do som em um gás pode ser calculada usando a fórmula:
v = raizgamma cdot R cdot TM
Onde:
  • é a velocidade do som,
  • é a razão das capacidades caloríficas,
  • é a constante dos gases,
  • é a temperatura em Kelvin,
  • é a massa molar do gás.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade do som para a temperatura v = raiz1,40 cdot 8,314 cdot 293,150,0288 :
Substituindo os valores na fórmula:
1,40 cdot 8,314 cdot 293,150,0288 approx 1,40 cdot 2434,30510,0288 approx 1,40 cdot 84578,35 approx 118309,69
Primeiro, vamos calcular o valor dentro da raiz:
v approx raiz118309,69 approx 344 , m/s
Agora, calculamos a raiz quadrada:

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade do som para a temperatura v = raiz1,40 cdot 8,314 cdot 308,150,0288 :
Usando a mesma fórmula:
1,40 cdot 8,314 cdot 308,150,0288 approx 1,40 cdot 2555,46710,0288 approx 1,40 cdot 88759,93 approx 124,263 times 10^2
Calculando o valor dentro da raiz:
v approx raiz124263 approx 352 , m/s
Calculando a raiz quadrada:

Passo 5

Agora que temos as velocidades do som para as duas temperaturas, vamos determinar o intervalo de comprimentos de onda que o ouvido humano pode perceber. A relação entre velocidade do som ( v = f cdot lambda ), frequência ( lambda = vf ) e comprimento de onda ( ) é dada por:
Rearranjando para encontrar :

Passo 6

Vamos calcular os comprimentos de onda mínimo e máximo usando a menor e maior frequência que o ouvido humano pode detectar, respectivamente.
Para lambdamín = 34420 = 17,2 , m ( lambdamáx = 34420000 = 0,0172 , m = 1,72 , cm ):
  • Frequência mínima ( lambdamín = 35220 = 17,6 , m ):
lambdamáx = 35220000 = 0,0176 , m = 1,76 , cm í
  • Frequência máxima ( ):
á
Para ( ):
  • Frequência mínima ( ):
í
  • Frequência máxima ( ):
á

Resposta

A velocidade das ondas sonoras no ar é de aproximadamente a e a . O intervalo de comprimentos de onda que o ouvido humano pode perceber varia de a para e de a para .

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