Resolva as seguintes desigualdades:
f) arcsen x < arccos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Essa questão envolve trigonometria, especificamente as funções inversas seno e cosseno. Para resolver, vamos precisar lembrar dos domínios dessas funções e como elas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função está definida para entre x e -1, ou seja, 1. O mesmo vale para a função . Então, já sabemos que nossa solução deve estar nesse intervalo.

Passo 3

Sabemos que retorna um ângulo cujo seno é , e x retorna um ângulo cujo cosseno é arccos(x). Os valores de estão entre x e , enquanto varia entre pi / 2 e arccos(x).

Passo 4

Vamos igualar as duas funções para encontrar pontos de interseção:
Para resolver isso, sabemos que . Substituindo na igualdade:
Somando dos dois lados:
Dividindo por 2:
Aplicando o seno dos dois lados:

Passo 5

Agora, sabemos que quando , . Para descobrir onde , vamos analisar os intervalos:
  • Para : aumenta mais devagar que , então .
  • Para : cresce mais rápido, então .

Resposta

A desigualdade é válida para todos os números reais que satisfazem x.

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