• 20 -A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo é dada por - 22 , onde está em metros e em segundos.
    Determine (a) a posição, (b) a velocidade e © a aceleração da partícula em 1 = 3,0 s. (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e (e) em que instante de tempo ela é al-cançada? (f) Oual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempo ela é alcançada? ( h )
    Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além do instante )? (i) Determine a velocidade média da partícula entre ( .

Passo 1

Beleza! Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo do eixo , cuja posição em função do tempo é dada pela equação:
Aqui, está em metros e em segundos. Vamos precisar de conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar suas causas. Especificamente, vamos usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, e também vamos analisar o comportamento da função para encontrar máximos e valores médios.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): Determinar a posição da partícula em s.
Para isso, basta substituir na equação da posição:

Passo 3

Agora, vamos calcular:

Passo 4

Resposta da parte (a): A posição da partícula em segundos é 183 metros.

Passo 5

Vamos para a parte (b): Determinar a velocidade da partícula em s.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos em relação a :

Passo 6

Substituindo s na expressão da velocidade:

Passo 7

Resposta da parte (b): A velocidade da partícula em segundos é -5 m/s.

Passo 8

Agora, a parte ©: Determinar a aceleração da partícula em s.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:

Passo 9

Note que a aceleração é constante e igual a -44 m/s² para qualquer valor de , inclusive em s.

Passo 10

Resposta da parte ©: A aceleração da partícula em segundos é -44 m/s².

Passo 11

Vamos para a parte (d): Determinar a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula.
A função posição é uma parábola com concavidade para baixo (porque o coeficiente de é negativo). O ponto máximo ocorre no vértice da parábola.
Para encontrar o tempo em que ocorre o vértice, usamos a fórmula:
á
Onde e . Substituindo:
á

Passo 12

Agora, substituímos á na equação da posição para encontrar a coordenada máxima:
á
Vamos calcular:
á
á

Passo 13

Resposta da parte (d): A coordenada positiva máxima alcançada pela partícula é aproximadamente 182,6 metros.

Passo 14

Parte (e): Determinar em que instante de tempo essa coordenada máxima é alcançada.
Já calculamos isso anteriormente:
á

Passo 15

Resposta da parte (e): A coordenada máxima é alcançada em aproximadamente 2,89 segundos.

Passo 16

Vamos para a parte (f): Determinar a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula.
A velocidade atinge seu máximo quando a aceleração é zero. Porém, como a aceleração é constante ( ), a velocidade máxima ocorre no instante inicial .
Calculando :

Passo 17

Resposta da parte (f): A velocidade positiva máxima alcançada pela partícula é 127 m/s.

Passo 18

Parte (g): Determinar em que instante de tempo essa velocidade máxima é alcançada.
Como mencionado, a velocidade máxima ocorre em s.

Passo 19

Resposta da parte (g): A velocidade máxima de 127 m/s é alcançada em t = 0 segundos.

Passo 20

Parte (h): Determinar a aceleração da partícula no instante em que ela não está se movendo (além de ).
A partícula não está se movendo quando a velocidade é zero. Então, vamos encontrar quando :
Agora, a aceleração nesse instante é:

Passo 21

Resposta da parte (h): A aceleração da partícula quando ela não está se movendo (além de ) é -44 m/s².

Passo 22

Finalmente, a parte (i): Determinar a velocidade média da partícula entre e s.
A velocidade média ( é) é dada por:
é
Onde s e s.
Primeiro, encontramos :
E já calculamos .

Passo 23

Substituindo na fórmula:
é

Passo 24

Resposta da parte (i): A velocidade média da partícula entre e segundos é 61 m/s.

Resposta

Todas as partes foram resolvidas conforme solicitado, proporcionando uma compreensão completa do movimento da partícula.

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