- 20 -A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo
é dada por
- 22 , onde
está em metros e
em segundos.
Determine (a) a posição, (b) a velocidade e © a aceleração da partícula em 1 = 3,0 s. (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e (e) em que instante de tempo ela é al-cançada? (f) Oual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempo ela é alcançada? ( h )
Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além do instante
)? (i) Determine a velocidade média da partícula entre (
.
Determine (a) a posição, (b) a velocidade e © a aceleração da partícula em 1 = 3,0 s. (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e (e) em que instante de tempo ela é al-cançada? (f) Oual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempo ela é alcançada? ( h )
Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além do instante
Passo 1
Beleza! Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo do eixo
, cuja posição em função do tempo
é dada pela equação:
Aqui,
está em metros e
em segundos. Vamos precisar de conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar suas causas. Especificamente, vamos usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, e também vamos analisar o comportamento da função para encontrar máximos e valores médios.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): Determinar a posição da partícula em
s.
Para isso, basta substituir
na equação da posição:
Passo 3
Agora, vamos calcular:
Passo 4
Resposta da parte (a): A posição da partícula em
segundos é 183 metros.
Passo 5
Vamos para a parte (b): Determinar a velocidade da partícula em
s.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Substituindo
s na expressão da velocidade:
Passo 7
Resposta da parte (b): A velocidade da partícula em
segundos é -5 m/s.
Passo 8
Agora, a parte ©: Determinar a aceleração da partícula em
s.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:
Passo 9
Note que a aceleração é constante e igual a -44 m/s² para qualquer valor de
, inclusive em
s.
Passo 10
Resposta da parte ©: A aceleração da partícula em
segundos é -44 m/s².
Passo 11
Vamos para a parte (d): Determinar a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula.
A função posição
é uma parábola com concavidade para baixo (porque o coeficiente de
é negativo). O ponto máximo ocorre no vértice da parábola.
Para encontrar o tempo em que ocorre o vértice, usamos a fórmula:
Onde
e
. Substituindo:
Passo 12
Agora, substituímos
na equação da posição para encontrar a coordenada máxima:
Vamos calcular:
Passo 13
Resposta da parte (d): A coordenada positiva máxima alcançada pela partícula é aproximadamente 182,6 metros.
Passo 14
Parte (e): Determinar em que instante de tempo essa coordenada máxima é alcançada.
Já calculamos isso anteriormente:
Passo 15
Resposta da parte (e): A coordenada máxima é alcançada em aproximadamente 2,89 segundos.
Passo 16
Vamos para a parte (f): Determinar a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula.
A velocidade atinge seu máximo quando a aceleração é zero. Porém, como a aceleração é constante (
), a velocidade máxima ocorre no instante inicial
.
Calculando
:
Passo 17
Resposta da parte (f): A velocidade positiva máxima alcançada pela partícula é 127 m/s.
Passo 18
Parte (g): Determinar em que instante de tempo essa velocidade máxima é alcançada.
Como mencionado, a velocidade máxima ocorre em
s.
Passo 19
Resposta da parte (g): A velocidade máxima de 127 m/s é alcançada em t = 0 segundos.
Passo 20
Parte (h): Determinar a aceleração da partícula no instante em que ela não está se movendo (além de
).
A partícula não está se movendo quando a velocidade é zero. Então, vamos encontrar
quando
:
Agora, a aceleração nesse instante é:
Passo 21
Resposta da parte (h): A aceleração da partícula quando ela não está se movendo (além de
) é -44 m/s².
Passo 22
Finalmente, a parte (i): Determinar a velocidade média da partícula entre
e
s.
A velocidade média (
) é dada por:
Onde
s e
s.
Primeiro, encontramos
:
E já calculamos
.
Passo 23
Substituindo na fórmula:
Passo 24
Resposta da parte (i): A velocidade média da partícula entre
e
segundos é 61 m/s.
Resposta
Todas as partes foram resolvidas conforme solicitado, proporcionando uma compreensão completa do movimento da partícula.