• 17- A posição de uma partícula que se move ao longo do cixo x é dada em centímetros por x=9,75+1,50 P^prime, onde r está em se-gundos. Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t=2,00 s a t=3,00 s; (b) a velocidade instantânea em t=2,00 s : © a velocidade instantánea em 1=3,00 s; (d) a velocidade instantânea em t=2,50 s; (e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em 1=2,00 s e r = 3,00 s (I) Plote o gráfico de x em função de re indique suas respostas graficamente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo x(t) = 9,75 + 1,50,t e a posição dela em função do tempo é dada por:
Aqui, está em centímetros e em segundos. O conteúdo envolvido nessa questão é Cinemática, especificamente o estudo de movimento retilíneo uniforme, onde queremos calcular velocidades médias e instantâneas em diferentes intervalos de tempo.
Para resolver essa questão, precisamos entender como calcular a velocidade média e a velocidade instantânea a partir da função posição em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade média durante o intervalo de tempo de vmédia = De a x(2,00) = 9,75 + 1,50 times 2,00 = 9,75 + 3,00 = 12,75,cm .
A velocidade média ( x(3,00) = 9,75 + 1,50 times 3,00 = 9,75 + 4,50 = 14,25,cm é) é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
vmédia = 14,25 - 12,753,00 - 2,00 = 1,501,00 = 1,50,cm/s é
Onde:
Vamos calcular e :
Agora, substituindo na fórmula da velocidade média:
é

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade instantânea em v(t) = dxdt .
A velocidade instantânea ( v(t) = ddt(9,75) + ddt(1,50,t) = 0 + 1,50 = 1,50,cm/s ) é a derivada da função posição em relação ao tempo:
Dada a função , vamos derivar em relação a :
Portanto, a velocidade instantânea em qualquer instante é , incluindo .

Passo 4

Vamos confirmar a velocidade instantânea em v(3,00,s) = 1,50,cm/s .
Como já vimos no passo anterior, a velocidade instantânea é constante e igual a .
Portanto, em :

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade instantânea em v(2,50,s) = 1,50,cm/s .
Como a velocidade instantânea é constante para essa função, independentemente do valor de :

Passo 6

Vamos determinar a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em x(2,00) = 12,75,cm e x(3,00) = 14,25,cm .
Primeiro, encontramos as posições em Metade da distância = 14,25 - 12,752 + 12,75 = 0,75 + 12,75 = 13,50,cm e 13,50 = 9,75 + 1,50,t :
13,50 - 9,75 = 1,50,t
3,75 = 1,50,t
A metade da distância entre essas posições é:
t = 3,751,50 = 2,50,s â
Agora, queremos encontrar o tempo v(2,50,s) = 1,50,cm/s quando :
Portanto, a velocidade instantânea nesse ponto é:

Passo 7

Finalmente, vamos plotar o gráfico de [ xlabel=Tempo ( t ) (s), ylabel=Posição ( x(t) ) (cm), grid=both, xmin=0, xmax=4, ymin=0, ymax=20, domain=0:4, samp<=s=100, ] addplot[blue, thick] 9.75 + 1.5*x; em função de .
A função é uma reta crescente, indicando movimento retilíneo uniforme com velocidade constante.
Aqui está o gráfico:
No gráfico, você pode ver que a posição aumenta linearmente com o tempo, confirmando que a velocidade é constante.

Resposta

(a) A velocidade média entre e é .
(b) A velocidade instantânea em é .
© A velocidade instantânea em é .
(d) A velocidade instantânea em é .
(e) A velocidade instantânea no ponto intermediário entre e , ou seja, em , é .
Além disso, o gráfico de confirma que a velocidade é constante ao longo do tempo.

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