- 17- A posição de uma partícula que se move ao longo do cixo x é dada em centímetros por
, onde
está em se-gundos. Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de
a
; (b) a velocidade instantânea em
s : © a velocidade instantánea em
; (d) a velocidade instantânea em
; (e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em
s e r = 3,00 s (I) Plote o gráfico de x em função de re indique suas respostas graficamente.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo
e a posição dela em função do tempo
é dada por:
Aqui,
está em centímetros e
em segundos. O conteúdo envolvido nessa questão é Cinemática, especificamente o estudo de movimento retilíneo uniforme, onde queremos calcular velocidades médias e instantâneas em diferentes intervalos de tempo.
Para resolver essa questão, precisamos entender como calcular a velocidade média e a velocidade instantânea a partir da função posição em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade média durante o intervalo de tempo de
a
.
A velocidade média (
) é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
Onde:
Vamos calcular
e
:
Agora, substituindo na fórmula da velocidade média:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade instantânea em
.
A velocidade instantânea (
) é a derivada da função posição em relação ao tempo:
Dada a função
, vamos derivar em relação a
:
Portanto, a velocidade instantânea em qualquer instante
é
, incluindo
.
Passo 4
Vamos confirmar a velocidade instantânea em
.
Como já vimos no passo anterior, a velocidade instantânea é constante e igual a
.
Portanto, em
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade instantânea em
.
Como a velocidade instantânea é constante para essa função, independentemente do valor de
:
Passo 6
Vamos determinar a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em
e
.
Primeiro, encontramos as posições em
e
:
A metade da distância entre essas posições é:
Agora, queremos encontrar o tempo
quando
:
Portanto, a velocidade instantânea nesse ponto é:
Passo 7
Finalmente, vamos plotar o gráfico de
em função de
.
A função
é uma reta crescente, indicando movimento retilíneo uniforme com velocidade constante.
Aqui está o gráfico:
No gráfico, você pode ver que a posição aumenta linearmente com o tempo, confirmando que a velocidade é constante.
Resposta
(a) A velocidade média entre
e
é
.
(b) A velocidade instantânea em
é
.
© A velocidade instantânea em
é
.
(d) A velocidade instantânea em
é
.
(e) A velocidade instantânea no ponto intermediário entre
e
, ou seja, em
, é
.
Além disso, o gráfico de
confirma que a velocidade é constante ao longo do tempo.