• 17- A posição de uma partícula que se move ao longo do cixo x é dada em centímetros por , onde está em se-gundos. Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de a ; (b) a velocidade instantânea em s : © a velocidade instantánea em ; (d) a velocidade instantânea em ; (e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em s e r = 3,00 s (I) Plote o gráfico de x em função de re indique suas respostas graficamente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo e a posição dela em função do tempo é dada por:
Aqui, está em centímetros e em segundos. O conteúdo envolvido nessa questão é Cinemática, especificamente o estudo de movimento retilíneo uniforme, onde queremos calcular velocidades médias e instantâneas em diferentes intervalos de tempo.
Para resolver essa questão, precisamos entender como calcular a velocidade média e a velocidade instantânea a partir da função posição em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade média durante o intervalo de tempo de a .
A velocidade média ( é) é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
é
Onde:
Vamos calcular e :
Agora, substituindo na fórmula da velocidade média:
é

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade instantânea em .
A velocidade instantânea ( ) é a derivada da função posição em relação ao tempo:
Dada a função , vamos derivar em relação a :
Portanto, a velocidade instantânea em qualquer instante é , incluindo .

Passo 4

Vamos confirmar a velocidade instantânea em .
Como já vimos no passo anterior, a velocidade instantânea é constante e igual a .
Portanto, em :

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade instantânea em .
Como a velocidade instantânea é constante para essa função, independentemente do valor de :

Passo 6

Vamos determinar a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em e .
Primeiro, encontramos as posições em e :
A metade da distância entre essas posições é:
â
Agora, queremos encontrar o tempo quando :
Portanto, a velocidade instantânea nesse ponto é:

Passo 7

Finalmente, vamos plotar o gráfico de em função de .
A função é uma reta crescente, indicando movimento retilíneo uniforme com velocidade constante.
Aqui está o gráfico:
No gráfico, você pode ver que a posição aumenta linearmente com o tempo, confirmando que a velocidade é constante.

Resposta

(a) A velocidade média entre e é .
(b) A velocidade instantânea em é .
© A velocidade instantânea em é .
(d) A velocidade instantânea em é .
(e) A velocidade instantânea no ponto intermediário entre e , ou seja, em , é .
Além disso, o gráfico de confirma que a velocidade é constante ao longo do tempo.

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