(20) Supondo que num determinado decaimento a energia e o momentum carregados pelo antineutrino sejam desprezíveis, determine o momentum do próton
. Neste problema, você pode admitir que
é uma ótima aproximação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física envolvendo decaimento de uma partícula, especificamente onde a energia e o momentum do antineutrino são desprezíveis. Nosso objetivo é determinar o momentum do próton em eV/c. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de conservação de energia e momentum, além de algumas aproximações simplificadoras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no decaimento de um nêutron (n) para um próton §, um elétron (e⁻) e um antineutrino (
), a conservação de energia e momentum são fundamentais. A equação geral é:
Como o antineutrino tem energia e momentum desprezíveis, podemos simplificar para:
Passo 3
A próxima etapa é aplicar a conservação de energia. A energia total do nêutron antes do decaimento deve ser igual à soma das energias do próton e do elétron após o decaimento. Usando a relação de energia relativística:
Onde:
Mas como estamos procurando o momentum do próton e queremos simplificar, podemos usar a aproximação dada
, que nos ajuda a ignorar o termo envolvendo a massa do elétron.
Passo 4
Agora, vamos focar na conservação de momentum. Se o antineutrino tem momentum desprezível, então o momentum do próton é igual e oposto ao do elétron:
Como estamos interessados apenas na magnitude, podemos escrever:
Passo 5
Usando a conservação de energia simplificada, temos:
Podemos rearranjar para encontrar a energia do elétron:
Passo 6
Agora, usando a relação entre energia e momentum para o elétron:
Mas, com a aproximação dada
, podemos simplificar para:
Passo 7
Substituindo
da etapa anterior:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, precisamos inserir os valores das massas:
- Massa do nêutron (
): aproximadamente MeV/c² - Massa do próton (
): aproximadamente MeV/c²
Calculando a diferença:
Passo 9
Finalmente, calculando o momentum do próton:
Convertendo para eV/c:
Resposta
O momentum do próton é aproximadamente
.