(20) Supondo que num determinado decaimento a energia e o momentum carregados pelo antineutrino sejam desprezíveis, determine o momentum do próton em eV/c. Neste problema, você pode admitir que mn, p^2-me^2 simeq mn, p^2 é uma ótima aproximação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física envolvendo decaimento de uma partícula, especificamente onde a energia e o momentum do antineutrino são desprezíveis. Nosso objetivo é determinar o momentum do próton em eV/c. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de conservação de energia e momentum, além de algumas aproximações simplificadoras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no decaimento de um nêutron (n) para um próton §, um elétron (e⁻) e um antineutrino ( n p + e^- + barnu ), a conservação de energia e momentum são fundamentais. A equação geral é:
n p + e^-
Como o antineutrino tem energia e momentum desprezíveis, podemos simplificar para:

Passo 3

A próxima etapa é aplicar a conservação de energia. A energia total do nêutron antes do decaimento deve ser igual à soma das energias do próton e do elétron após o decaimento. Usando a relação de energia relativística:
En = Ep + Ee
Onde:
E = raiz(pc)^2 + (mc^2)^2
Mas como estamos procurando o momentum do próton e queremos simplificar, podemos usar a aproximação dada , que nos ajuda a ignorar o termo envolvendo a massa do elétron.

Passo 4

Agora, vamos focar na conservação de momentum. Se o antineutrino tem momentum desprezível, então o momentum do próton é igual e oposto ao do elétron:
pp = -pe
Como estamos interessados apenas na magnitude, podemos escrever:
pp = pe

Passo 5

Usando a conservação de energia simplificada, temos:
mn c^2 = mp c^2 + Ee
Podemos rearranjar para encontrar a energia do elétron:
Ee = (mn - mp) c^2

Passo 6

Agora, usando a relação entre energia e momentum para o elétron:
Ee = raiz(pe c)^2 + (me c^2)^2
Mas, com a aproximação dada Ee simeq pe c , podemos simplificar para:

Passo 7

Substituindo (mn - mp) c^2 simeq pp c da etapa anterior:
pp simeq (mn - mp) c1
Resolvendo para :

Passo 8

Agora, precisamos inserir os valores das massas:
  • Massa do nêutron ( mn - mp = 939.565 , MeV/c^2 - 938.272 , MeV/c^2 = 1.293 , MeV/c^2 ): aproximadamente MeV/c²
  • Massa do próton ( ): aproximadamente MeV/c²
Calculando a diferença:

Passo 9

Finalmente, calculando o momentum do próton:
pp simeq 1.293 , MeV/c^2 times c1 = 1.293 , MeV/c
Convertendo para eV/c:
1.293 , MeV/c = 1.293 times 10^6 , eV/c = 1.293 times 10^6 , eV/c

Resposta

O momentum do próton é aproximadamente .

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