Resp.: a) x(t)=0 , 0 5 sen(t),OHS;b) x(t)=0 , 0 5 e^-0.05 t sen(t), fraco ; c) x(t)=0 , 0 6 e^-0.5 t sen(0,87 t), subcrítico; d) x(t)=0 , 0 5 t e^-t, crítico; e) x(t)=0 , 0 2 2 e^-1,5 t(e^+1,12 t-e^-1,12 t), supercrítico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Parece que você está trabalhando com sistemas massa-mola ou circuitos elétricos e quer entender como cada função de posição se comporta ao longo do tempo. Vamos identificar qual tipo de amortecimento cada uma representa: oscilação harmônica simples (OHS), amortecimento fraco, subcrítico, crítico ou supercrítico. Para isso, precisamos saber sobre as soluções das equações diferenciais que descrevem esses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de um sistema massa-mola com amortecimento depende do discriminante da equação característica, que nos diz o tipo de amortecimento:
  • OHS (Oscilação Harmônica Simples): Sem amortecimento.
  • Amortecimento fraco: Pequeno amortecimento, ainda oscila.
  • Amortecimento subcrítico: Mais amortecimento que o fraco, mas ainda oscila.
  • Amortecimento crítico: Precisamente o ponto onde o sistema não oscila mais, retorna ao equilíbrio o mais rápido possível.
  • Amortecimento supercrítico: Mais amortecimento que o crítico, retorna ao equilíbrio sem oscilar.
Vamos analisar cada função e ver qual categoria ela se encaixa.

Passo 3

a) , OHS
Aqui, temos uma função senoidal pura sem termo exponencial. Isso significa que não há amortecimento, ou seja, o sistema oscila indefinidamente com amplitude constante. Portanto, é uma Oscilação Harmônica Simples (OHS).

Passo 4

b) , amortecimento fraco
Nesta função, temos um termo exponencial multiplicando a função senoidal. Esse termo faz com que a amplitude da oscilação diminua ao longo do tempo, mas como o fator de amortecimento é pequeno ( ), o sistema ainda oscila, porém com amplitude decrescente. Isso caracteriza um Amortecimento Fraco.

Passo 5

c) , amortecimento subcrítico
Aqui, o termo exponencial indica amortecimento, e o fator no seno mostra que ainda há oscilação, porém com uma taxa de decaimento mais rápida que no caso anterior. Esse tipo de comportamento é conhecido como Amortecimento Subcrítico, onde o sistema ainda oscila, mas a amplitude diminui mais rapidamente.

Passo 6

d) , amortecimento crítico
Esta função não tem termo senoidal, mas tem um fator . No caso de amortecimento crítico, a solução da equação diferencial geralmente envolve um termo linear multiplicado por um exponencial decrescente, sem oscilações. Isso significa que o sistema retorna ao equilíbrio de forma mais eficiente, sem oscilar. Portanto, essa é uma solução de Amortamento Crítico.

Passo 7

e) x(t) = 0,22 e^-1,5t (e^1,12t - e^-1,12t) = 0,22 (e^-0,38t - e^-2,62t) , amortecimento supercrítico
Aqui, a função é um pouco mais complexa, mas podemos reescrever:
Vemos que há dois termos exponenciais com diferentes taxas de decaimento, ambos decrescendo no tempo, sem termos senoidais. Isso indica que o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas com duas taxas de decaimento diferentes, caracterizando um Amortecimento Supercrítico.

Resposta

A classificação das funções de é a seguinte:
a) – OHS
b) – Amortecimento fraco
c) – Amortamento subcrítico
d) – Amortamento crítico
e) – Amortamento supercrítico

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