Resp.: a)
,OHS;b)
, fraco ; c)
, subcrítico; d)
, crítico; e)
, supercrítico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Parece que você está trabalhando com sistemas massa-mola ou circuitos elétricos e quer entender como cada função de posição
se comporta ao longo do tempo. Vamos identificar qual tipo de amortecimento cada uma representa: oscilação harmônica simples (OHS), amortecimento fraco, subcrítico, crítico ou supercrítico. Para isso, precisamos saber sobre as soluções das equações diferenciais que descrevem esses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de um sistema massa-mola com amortecimento depende do discriminante da equação característica, que nos diz o tipo de amortecimento:
- OHS (Oscilação Harmônica Simples): Sem amortecimento.
- Amortecimento fraco: Pequeno amortecimento, ainda oscila.
- Amortecimento subcrítico: Mais amortecimento que o fraco, mas ainda oscila.
- Amortecimento crítico: Precisamente o ponto onde o sistema não oscila mais, retorna ao equilíbrio o mais rápido possível.
- Amortecimento supercrítico: Mais amortecimento que o crítico, retorna ao equilíbrio sem oscilar.
Vamos analisar cada função
e ver qual categoria ela se encaixa.
Passo 3
a) , OHS
Aqui, temos uma função senoidal pura sem termo exponencial. Isso significa que não há amortecimento, ou seja, o sistema oscila indefinidamente com amplitude constante. Portanto, é uma Oscilação Harmônica Simples (OHS).
Passo 4
b) , amortecimento fraco
Nesta função, temos um termo exponencial
multiplicando a função senoidal. Esse termo faz com que a amplitude da oscilação diminua ao longo do tempo, mas como o fator de amortecimento é pequeno (
), o sistema ainda oscila, porém com amplitude decrescente. Isso caracteriza um Amortecimento Fraco.
Passo 5
c) , amortecimento subcrítico
Aqui, o termo exponencial
indica amortecimento, e o fator no seno
mostra que ainda há oscilação, porém com uma taxa de decaimento mais rápida que no caso anterior. Esse tipo de comportamento é conhecido como Amortecimento Subcrítico, onde o sistema ainda oscila, mas a amplitude diminui mais rapidamente.
Passo 6
d)
, amortecimento crítico
Esta função não tem termo senoidal, mas tem um fator
. No caso de amortecimento crítico, a solução da equação diferencial geralmente envolve um termo linear multiplicado por um exponencial decrescente, sem oscilações. Isso significa que o sistema retorna ao equilíbrio de forma mais eficiente, sem oscilar. Portanto, essa é uma solução de Amortamento Crítico.
Passo 7
e)
, amortecimento supercrítico
Aqui, a função é um pouco mais complexa, mas podemos reescrever:
Vemos que há dois termos exponenciais com diferentes taxas de decaimento, ambos decrescendo no tempo, sem termos senoidais. Isso indica que o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas com duas taxas de decaimento diferentes, caracterizando um Amortecimento Supercrítico.
Resposta
A classificação das funções de
é a seguinte:
a) – OHS
b) – Amortecimento fraco
c) – Amortamento subcrítico
d)
– Amortamento crítico
e)
– Amortamento supercrítico
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