De 200 famílias que assistiam televisão, durante um intervalo de tempo, em New York, verificou-se que 45 sintonizavam a emissora A. Teste a hipótese que a emissora A tem popularidade igual a
a um nível de significância de
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos diz que, em Nova York, foram observadas 200 famílias que assistiam televisão, e dessas, 45 sintonizavam a emissora A. A gente precisa testar se a popularidade dessa emissora é realmente de 30%, usando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos usar um teste de hipótese para proporção.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que queremos testar:
- Hipótese nula (
): A popularidade da emissora A é igual a 30%, ou seja, $ p = 0,30 $. - Hipótese alternativa (
): A popularidade da emissora A é diferente de 30%, ou seja, $ p \ne 0,30 $.
Estamos usando um teste bilateral porque queremos verificar se a proporção é diferente, seja maior ou menor que 30%.
Passo 3
Antes de calcular, precisamos verificar se podemos usar a aproximação normal para esse teste de proporção. Para isso, verificamos se os seguintes critérios são atendidos:
- $ n \times p_0 \geq 5 $
- $ n \times (1 - p_0) \geq 5 $
Onde:
- $ n = 200 $ (tamanho da amostra)
- $ p_0 = 0,30 $ (proporção da hipótese nula)
Vamos calcular:
- $ 200 \times 0,30 = 60 \geq 5 $
- $ 200 \times 0,70 = 140 \geq 5 $
Como ambos são maiores ou iguais a 5, podemos usar a aproximação normal.
Passo 4
Agora, vamos calcular o estatístico de teste usando a fórmula:
Onde:
- $ \hat{p} = \frac{45}{200} = 0,225 $ (proporção observada na amostra)
- $ p_0 = 0,30 $
- $ n = 200 $
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos determinar o valor crítico para um nível de significância de 5% em um teste bilateral. Isso significa que cada cauda da distribuição normal terá 2,5%.
Consultando a tabela z, o valor crítico para 2,5% é aproximadamente $ \pm1,96 $.
Comparando o nosso estatístico de teste ($ z \approx -2,31
\pm1,96 $):
- $ -2,31 < -1,96 $
Como o valor absoluto do nosso z é maior que 1,96, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese de que a emissora A tem uma popularidade igual a 30% ao nível de significância de 5%. Isso indica que a popularidade real da emissora A difere de 30%.